[论文解读] Large cliques in graphs with high chromatic number

Csaba Bíró|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文研究了色数接近其顶点数的图中最小团的大小，证明当 n 足够大时，色数为 n−k 的图包含大小至少为 n−2k+3 的团，其中 k≥5。该结果解决了 k≤6 时的猜想，并通过颜色类的结构分析与列表着色技术，建立了在高色数约束下团数的下界。

ABSTRACT

We study graphs whose chromatic number is close to the order of the graph (the number of vertices). Both when the chromatic number is a constant multiple of the order and when the difference of the chromatic number and the order is a small fixed number, large cliques are forced. We study the latter situation, and we give quantitative results how large the clique number of these graphs have to be. Some related questions are discussed and conjectures are posed. Please note that the results of this article were significantly generalized. Therefore this paper will never be published in a journal. See instead arXiv:1103.3917 [math.CO] for the more general results.

研究动机与目标

• 确定具有 n 个顶点和色数 n−k 的图中可能的最小团数 Q(n, n−k)。
• 研究当色数接近顶点数时（特别是小的 k 值），团数必须多大。
• 解决关于小 k 值下 Q(n, n−k) 精确值的猜想，并建立紧致的下界。
• 通过结构与极值图论方法，探索图着色、团结构与偏序集维数之间的联系。

提出的方法

• 分析具有色数 n−k 的图的最优着色，重点关注单元素与双元素颜色类。
• 利用拉姆齐理论的界与独立数估计，推导团大小的下界。
• 应用列表着色技术，特别是分析在移除单元素后剩余顶点上的列表赋值。
• 基于非单元素顶点可用颜色数（l=1,2,3,4,5）进行情况分析。
• 构造显式着色以避免大团，表明当团大小低于 n−2k+3 时，此类构造会失败。
• 通过反证法与结构约束（如团中非边的存在）利用着色论证强制存在大团。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 n 个顶点和色数 n−k 的图，最小可能的团数 Q(n, n−k) 是多少？
• RQ2 当色数为 n−k 且 k 为小的固定值时，团数必须多大？
• RQ3 猜想 Q(n, n−k) = n−2k+⌈k/2⌉ 对所有充分大的 n 是否成立？
• RQ4 哪些结构约束会迫使高色数图中出现大团？
• RQ5 列表着色与颜色类的结构特性如何影响大团的存在？

主要发现

• 当 k≥5 且 n 足够大时，Q(n, n−k)≥n−2k+3，建立了团数的紧致下界。
• 猜想 Q(n, n−k)=n−2k+⌈k/2⌉ 对 k≤6 成立，尽管其在一般情况下后来被证伪。
• 当单元素颜色类数量为 n−2k+1 或 n−2k 时，剩余顶点必须形成强制产生大团的结构。
• 证明依赖于对非单元素顶点上列表赋值的分析，并表明任何试图避免大团的尝试都会导致使用少于 n−k 种颜色的有效着色。
• 当剩余顶点上可用颜色数 l=1,2,3,4,5 时，论文构造了仅在团大小受限制时才能避免大团的着色，从而导致矛盾。
• 结果表明，色数接近 n 的图必须包含大小至少为 n−2k+3 的团，该结果在猜想值范围内已达到最优。