[论文解读] Large connected strongly regular graphs are Hamiltonian

László Pyber|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了所有足够大的连通强正则图都包含哈密顿环，这是代数图论中的一个关键结果。通过证明例外强正则图具有高度伪随机性——表现为强烈的谱间隙 $k/\Lambda > v^{1/10}/2$——作者应用了Krivelevich与Sudakov提出的哈密顿性判别准则，从而确认此类图在超过某一大小阈值后均为哈密顿图。

ABSTRACT

We prove that every connected strongly regular graph on sufficiently many vertices is Hamiltonian. We prove this by showing that, apart from three families, connected strongly regular graphs are (highly) pseudo-random. Our results suggest a number of new questions and conjectures.

研究动机与目标

• 解决一个猜想：所有连通强正则图（仅有有限多个例外）均为哈密顿图。
• 确立例外强正则图（排除完全多部图、Steiner图与拉丁方图）通过谱性质表现出高度伪随机性。
• 通过特征值分析，拓展对距离正则图与高度对称图中伪随机性的理解。
• 为正则图提供一个充分的谱条件以保证哈密顿性，该条件可应用于强正则图。
• 研究自同构群在决定正则图的谱行为与伪随机性中的作用。

提出的方法

• 使用Krivelevich-Sudakov哈密顿性判别准则，其要求 $k/\Lambda > 1000 \log v (\log \log \log v)/(\log \log v)^2$。
• 应用Seidel的绝对界，推导出本原强正则图的谱比 $k/\Lambda$ 的下界。
• 证明对于例外强正则图，有 $k/\Lambda > v^{1/10}/2$，该结果在 $v$ 足够大时满足Krivelevich-Sudakov条件。
• 通过邻接矩阵的特征值重数与迹恒等式，对 $\Lambda = \max\{|\lambda_i|\}$（$i \geq 2$）进行上界估计。
• 应用置换群的表示理论，以自同构群中最大阿贝尔正规子群的指标为基准，对 $\Lambda(G)$ 进行上界估计。
• 利用Jordan关于 $GL(n,\mathbb{C})$ 的有限子群的定理，将非平凡不可约表示的最小次数与谱界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有足够大的连通强正则图是否都是哈密顿图？
• RQ2 例外强正则图（排除已知族）在多大程度上表现出伪随机谱行为？
• RQ3 自同构群结构（尤其是本原性与阿贝尔正规子群）如何影响谱间隙与伪随机性？
• RQ4 能否利用 $k/\Lambda$ 的谱界推导出正则图的哈密顿性？
• RQ5 距离正则图（尤其是直径无界的）是否仅有有限多个例外而不满足哈密顿性？

主要发现

• 存在一个阈值 $N$，使得每个顶点数超过 $N$ 的连通强正则图都包含一个哈密顿环。
• 对于例外强正则图，比值 $k/\Lambda$ 超过 $v^{1/10}/2$，表明其具有强烈的伪随机性。
• 具有本原自同构群的连通强正则图，除非其自同构群几乎为阿贝尔群，否则均为伪随机图。
• 对于自同构群为本原且最大阿贝尔正规子群的指数不断增长的 $k_n$-正则图序列，有 $\Lambda(G) = o(k_n)$ 成立。
• 该结果可推广至本原一致相干配置的合并图，当满足均匀密度条件时，有 $\Lambda(M_n) = o(p_n)$。
• 推论3.4给出了谱界 $\Lambda(G) < c_1 (vk / \sqrt{\log(|A/S|)})^{1/2}$，适用于自同构群为本原的 $k$-正则图 $G$ 及其阿贝尔正规子群 $S$。