[论文解读] Large deviation analysis for classes of interacting Bosonic cycle counts

Stefan Adams, Matthew Dickson|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文在正则系综下建立了相互作用玻色子系统中经验循环计数的大偏差原理，推广了先前工作，允许非正的相互作用势。它提供了热力学压强的变分表示，并通过率函数极小化器的详细分析，证明了HYL（Huang-Yang-Luttinger）模型中的玻色-爱斯坦凝聚（BEC），包括包含负相互作用项的情况。

ABSTRACT

This paper studies probabilistic mean-field models for interacting bosons at a positive temperature in the thermodynamic limit with random particle density. In particular, we prove large deviation principles for empirical cycle counts in all our models, and as such generalise recent work in \cite{ACK} where upper and lower large deviation bounds do not match. Namely, on the one hand we generalise to the so-called grand canonical ensemble, and on the other hand, we consider classes of interaction potentials depending on the cycle counts which are not restricted to be positive. Our large deviation results provide representation formulae for the thermodynamic limit of the pressure which in turn leads to proving Bose-Einstein-condensation (BEC) in all our models. A primary focus and novelty is the pressure representation via extended large deviation analysis for the so-called hard-sphere, or HYL-model (Huang-Yang-Luttinger) studied in \cite{Lew86}. This model has negative counter terms in the Hamiltonian and shows BEC depending on the coupling constants.

研究动机与目标

• 将大偏差分析扩展到正则系综下的相互作用玻色子系统，克服先前工作中上下界不匹配的局限性。
• 分析相互作用势依赖于循环计数且不限于正数的模型，包括带有负项的HYL模型。
• 通过扩展的大偏差分析，推导热力学压强的变分表示。
• 通过率函数极小化器的行为，证明这些模型中玻色-爱斯坦凝聚（BEC）的存在。
• 为研究具有复杂相互作用结构的平均场模型中的BEC，特别是HYL模型，提供一个严格的框架。

提出的方法

• 使用布朗桥期望的对称和来表示配分函数 $ Z_{\rm \textbackslash{}Lambda}^{{\rm bc}}(\beta,\mu) $，通过费曼-克莱克公式引入相互作用势。
• 利用带标记的泊松点过程来建模循环构型，其中循环长度按 $ q_k^{\rm bc}/\overline{q}^{\rm bc} $ 分布，从而实现循环计数的经验测度。
• 在平均场循环权重下，利用正则系综公式，推导经验循环计数的大偏差原理。
• 通过大偏差原理的率函数，建立热力学压强的变分公式。
• 分析率函数极小化器，以确定粒子密度和压强的导数，将其与BEC相变联系起来。
• 应用玻色函数和Lambert W函数的渐近展开，分析压强的临界行为和奇异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非正相互作用势下，为相互作用玻色子系统中经验循环计数建立大偏差原理？
• RQ2 在正则系综中，通过扩展的大偏差分析，热力学压强如何作为变分公式出现？
• RQ3 在带有负相互作用项的HYL模型中，玻色-爱斯坦凝聚是否发生，其如何通过率函数极小化器表征？
• RQ4 化学势和温度在决定这些模型中BEC起始点方面起什么作用？
• RQ5 玻色函数和Lambert W函数的渐近行为如何影响压强临界点的分析？

主要发现

• 该论文为经验循环计数建立了匹配的上下大偏差界，解决了先前工作中存在的缺口 [ACK11]。
• 通过大偏差原理的率函数，推导出热力学压强的变分表示，该表示在热力学极限下成立。
• 通过分析率函数的零点，严格证明了在带有负相互作用项的HYL模型中存在玻色-爱斯坦凝聚。
• 压强表示表明，当率函数极小化器在零循环分量中表现出非零粒子密度时，凝聚发生。
• 分析证实，HYL模型的BEC相变行为取决于耦合常数，与 [Lew86] 的预测一致。
• 通过玻色函数和Lambert W函数的渐近展开，表征了压强在临界点的奇异性结构，支持了BEC相变的存在。