[论文解读] Large deviation asymptotics for the left tail of the sum of dependent positive random variables

Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2014

Probability and Risk Models被引用 1

一句话总结

本文引入了一种新的函数度量——弱尾依存函数，用于量化弱依赖正随机变量之和的对数尺度尾部行为。通过在拷贝函数层面定义该度量，能够对多种拷贝函数族（包括高斯、高斯混合、阿基米德及极值拷贝函数）的渐近尾部概率进行精确分析，为极端事件中的依赖结构建模提供了一项精细化工具。

ABSTRACT

We introduce a new functional measure of tail dependence for weakly dependent (asymptotically independent) random vectors, termed weak tail dependence function. The new measure is defined at the level of copulas and we compute it for several copula families such as the Gaussian copula, copulas of a class of Gaussian mixture models, certain Archimedean copulas and extreme value copulas. The new measure allows to quantify the tail behavior of certain functionals of weakly dependent random vectors at the log scale.

研究动机与目标

• 解决在传统尾部依存度量失效时，对弱依赖正随机变量之和的尾部行为建模的挑战。
• 开发一种新的函数度量，以捕捉弱依赖向量在对数尺度上的渐近依赖结构。
• 在拷贝函数框架内明确定义并计算弱尾依存函数，以实现对多种依赖族的可处理分析。
• 量化在渐近独立条件下，弱依赖随机向量泛函（尤其是和）的尾部行为。
• 为多变量设置下的风险评估与极值分析，提供理论坚实且可计算的工具。

提出的方法

• 提出一种新的函数度量——弱尾依存函数，定义于拷贝函数层面，以表征弱依赖随机向量的联合尾部行为。
• 推导了若干参数化拷贝函数族的弱尾依存函数，包括高斯、高斯混合模型、特定阿基米德及极值拷贝函数。
• 运用渐近分析研究正弱依赖随机变量之和的对数尺度尾部行为。
• 应用基于拷贝函数的技术来建模依赖结构，并在渐近独立条件下提取尾部依存特征。
• 采用函数极限定理与正规变体概念，推导依赖正随机变量之和左尾的大偏差渐近行为。
• 建立弱尾依存函数与依赖正随机变量之和的大偏差原理之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典尾部依存度量在极限下消失的弱依赖随机向量中，如何量化尾部依存？
• RQ2 何种函数度量能捕捉弱依赖正随机变量之和的对数尺度尾部行为？
• RQ3 弱尾依存函数在不同拷贝函数族（如高斯、阿基米德及极值拷贝函数）中的行为如何？
• RQ4 弱尾依存函数能否用于推导依赖正随机变量之和左尾的大偏差渐近行为？
• RQ5 拷贝函数层面的弱尾依存函数与弱依赖向量泛函的渐近尾部行为之间存在何种关系？

主要发现

• 弱尾依存函数提供了一种精细化的尾部依存度量，即使在经典尾部依存度量消失时仍具意义，适用于弱依赖向量。
• 对高斯拷贝函数，该函数被显式计算，显示尾部具有特定的对数衰减率，与渐近独立性一致。
• 对于某些高斯混合模型，弱尾依存函数揭示了尽管存在渐近独立性，尾部仍存在非平凡的依赖结构。
• 该方法成功利用新函数度量推导出依赖正随机变量之和左尾的大偏差渐近行为。
• 该方法表明，弱尾依存函数能够对对数尺度下的尾部行为进行精确量化，尤其适用于和等泛函。
• 该框架广泛适用于拷贝函数族，包括阿基米德与极值拷贝函数，为极值与风险建模提供统一的分析工具。