[论文解读] Large deviation expansions for the coefficients of random walks on the general linear group

Hui Xiao, Ion Grama+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 53被引用 7

一句话总结

本文在 i.i.d. 矩阵序列下，为 $GL(d,\mathbb{R})$ 上随机矩阵乘积的系数 $\pi(f, G_n v)$ 建立了 Bahadur-Rao-Petrov 型大偏差展开。通过分析在测度变换下平稳测度的谱间隙与 Hölder 正则性，推导出显式的大偏差渐近公式，改进了先前的界，并得出了关于系数的新局部极限定理（含大偏差）。

ABSTRACT

Let $(g_n)_{n\geq 1}$ be a sequence of independent and identically distributed elements of the general linear group $GL(d, \mathbb R)$. Consider the random walk $G_n: = g_n \ldots g_1$. Under suitable conditions, we establish Bahadur-Rao-Petrov type large deviation expansion for the coefficients $\langle f, G_n v angle$, where $f \in (\mathbb R^d)^*$ and $v \in \mathbb R^d$. In particular, our result implies the large deviation principle with an explicit rate function, thus improving significantly the large deviation bounds established earlier. Moreover, we establish Bahadur-Rao-Petrov type large deviation expansion for the coefficients $\langle f, G_n v angle$ under the changed measure. Toward this end we prove the Hölder regularity of the stationary measure corresponding to the Markov chain $G_n v /|G_n v|$ under the changed measure, which is of independent interest. In addition, we also prove local limit theorems with large deviations for the coefficients of $G_n$.

研究动机与目标

• 推导 $GL(d,\mathbb{R})$ 上 i.i.i.d. 随机矩阵乘积系数 $\langle f, G_n v\rangle$ 的精确大偏差渐近公式。
• 通过提供显式速率函数，改进现有形式为 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq) \leq e^{-cn}$ 的大偏差界。
• 在测度变换 $\mathbb{Q}_s^x$ 下，为 $\langle f, G_n v\rangle$ 建立 Bahadur-Rao-Petrov 型展开，从而实现更精确的尾部估计。
• 证明在测度变换下，与马尔可夫链 $G_n v / |G_n v|$ 相关的平稳测度的 Hölder 正则性，该结果具有独立兴趣。
• 利用改进的渐近展开，为系数 $\langle f, G_n v\rangle$ 推导出新的含大偏差的局部极限定理。

提出的方法

• 使用转移算子 $P_s$ 及其共轭 $P_s^*$ 分析在射影空间 $\mathbb{P}^{d-1}$ 上随机游动的谱性质。
• 对累积量生成函数 $\Lambda(s) = \log \kappa(s)$ 应用 Fenchel-Legendre 变换 $\Lambda^*$，其中 $\kappa(s) = \lim_{n\to\infty} (\mathbb{E}\|G_n\|^s)^{1/n}$。
• 通过转移算子的特征函数 $r_s(x)$ 使用测度变换 $\mathbb{Q}_s^x$，研究 $\log|\langle f, G_n v\rangle|$ 的尾部行为。
• 通过谱间隙估计及共轭转移算子 $P_s^*$ 的使用，建立在 $\mathbb{Q}_s^x$ 下平稳测度的 Hölder 正则性。
• 在 $\mathbb{Q}_s^x$ 下应用范数上循环 $\log|G_n v|$ 的中心极限定理与强大数定律，以控制波动。
• 将期望分解为两部分：$J_1$ 对应于大负值 $Y_n^{x,y} = \log \delta(y, G_n x)$，$J_2$ 对应于区间 $I_k$，通过截断与集中不等式估计，证明 $J_1 \to 0$ 且 $J_2 \to \int e^{-(t-s)u} \psi(u) du$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $GL(d,\mathbb{R})$ 上随机矩阵乘积的系数 $\langle f, G_n v\rangle$ 推导出显式的大偏差展开（Bahadur-Rao-Petrov 型）？
• RQ2 概率 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq)$ 的精确衰减速率为何？它如何改进先前的界 $e^{-cn}$？
• RQ3 在测度变换 $\mathbb{Q}_s^x$ 下，平稳测度的 Hölder 正则性如何促进大偏差展开的推导？
• RQ4 能否利用改进的渐近展开，为 $\langle f, G_n v\rangle$ 建立含大偏差的局部极限定理？
• RQ5 $(G_n x, \log|\langle f, G_n v\rangle|)$ 的联合大偏差行为如何？它如何带来关于系数尾部分布的新结果？

主要发现

• 本文为 $\langle f, G_n v\rangle$ 建立了 Bahadur-Rao-Petrov 型大偏差展开，其蕴含显式速率函数 $\Lambda^*$ 的大偏差原理，显著改进了先前的界 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq) \leq e^{-cn}$。
• 在测度变换 $\mathbb{Q}_s^x$ 下，本文证明了 a.s. 有 $\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log|\langle f, G_n v\rangle| \geq \Lambda'(s)$，并通过涉及积分 $\int_{\mathbb{R}} e^{-(t-s)u} \psi(u) du$ 的极限，推导出尾部概率的精确渐近公式。
• 本文建立了在 $\mathbb{Q}_s^x$ 下平稳测度的 Hölder 正则性，这是关键的技术要素，且在随机矩阵乘积研究中具有独立兴趣。
• 本文推导出关于 $\langle f, G_n v\rangle$ 的新局部极限定理（含大偏差），表明 $\log|\langle f, G_n v\rangle|$ 的密度收敛于由谱间隙与特征函数结构缩放的高斯型密度。
• 对于上尾，渐近展开被证明收敛于 $\int_{\mathbb{P}^{d-1}} \varphi(x) \delta(y,x)^t \frac{r_s(x)}{r_t(x)} \pi_t(dx) \int_{\mathbb{R}} e^{-(t-s)u} \psi(u) du + o(1)$，从而对大偏差密度给出了精确刻画。
• 下尾的大偏差也得到了分析，其证明依赖于类似技术，但由于相关函数空间的非紧性，需要更精细的控制。