[论文解读] Large deviation for the empirical degree distribution of an Erdos-Renyi graph

Sumit Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文针对边概率为 $\beta/n$ 的 Erdos-Renyi 随机图的度分布经验分布，建立了强于弱收敛的拓扑下的大偏差原理。它严格证明了包含几何加权度或交替 k 星项的稀疏指数随机图模型（ERGM）不会退化，而包含 k 星项的模型则会退化，从而解决了社会网络建模中的关键问题。

ABSTRACT

With $(d_1,\cdots,d_n)$ denoting the labeled degrees of an Erdos Renyi graph with parameter $\beta/n$, the large deviation principle for $\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n\delta_{d_j}$ (the empirical distribution of the degrees) is derived with a good rate function, with respect to a topology stronger than the weak topology. As an application the degeneracy of some sparse ERGM models used in social networks is studied rigorously, showing in particular that using terms such as gwd (geometrically weighted degree) and alternating $k$ stars does not cause degeneracy, whereas using a $k$-star term does.

研究动机与目标

• 为稀疏 Erdos-Renyi 随机图中的经验度分布建立大偏差原理。
• 分析用于社会网络分析的稀疏指数随机图模型（ERGM）的退化行为。
• 确定 ERGM 中哪些充分统计量会导致稀疏区域的模型退化。
• 为理解常见 ERGM 项的稳定性提供严格的数学基础。

提出的方法

• 推导 Erdos-Renyi 图中经验度测度 $\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \delta_{d_j}$ 的大偏差原理，其边概率为 $\beta/n$。
• 使用强于弱收敛的拓扑，获得大偏差原理的良好速率函数。
• 将大偏差结果应用于研究指数随机图模型的渐近行为。
• 分析特定充分统计量——k 星、几何加权度（gwd）和交替 k 星——对模型退化的影响。
• 比较包含与不包含 k 星项的模型的渐近行为，以评估退化情况。
• 运用大偏差技术，严格刻画在不同 ERGM 规范下度分布的极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 Erdos-Renyi 图的经验度分布是否在强拓扑下满足大偏差原理？
• RQ2 ERGM 的充分统计量在什么条件下会导致稀疏区域的模型退化？
• RQ3 几何加权度（gwd）和交替 k 星项是否能防止稀疏 ERGM 中的退化？
• RQ4 k 星项是否本质上是稀疏 ERGM 中退化的根源？
• RQ5 大偏差理论能否用于严格分析网络模型的稳定性？

主要发现

• 边概率为 $\beta/n$ 的 Erdos-Renyi 图的经验度分布，在强于弱收敛的拓扑下，满足具有良好速率函数的大偏差原理。
• 大偏差原理为分析稀疏随机图中度分布的罕见事件提供了严格的框架。
• 包含几何加权度（gwd）项的 ERGM 在稀疏区域不会表现出退化。
• 包含交替 k 星项的 ERGM 即使在稀疏设置下也避免了退化。
• 相比之下，包含标准 k 星项的 ERGM 在稀疏区域会退化，表明其不稳定性。
• 分析证实，k 星项是稀疏网络模型中退化的主要原因。