[论文解读] Large deviation for two-time-scale stochastic Burgers equation

Xiaobin Sun, Ran Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文为一个两时间尺度随机Burgers方程建立了弗里德林-温茨勒型大偏差原理（LDP），其中慢分量由随机Burgers方程控制，快分量由随机反应-扩散方程控制。利用Budhiraja与Dupuis（2010）提出的弱收敛准则，作者通过分析小噪声下受控系统在快慢时间尺度分离条件下的渐近行为，证明了该LDP。

ABSTRACT

A Freidlin-Wentzell type large deviation principle is established for stochastic partial differential equations with slow and fast time-scales, where the slow component is a one-dimensional stochastic Burgers equation with small noise and the fast component is a stochastic reaction-diffusion equation. Our approach is via the weak convergence criterion developed in [3].

研究动机与目标

• 为一个耦合的慢-快随机偏微分方程（SPDE）系统建立弗里德林-温茨勒型大偏差原理（LDP），其中慢分量为随机Burgers方程，快分量为随机反应-扩散方程。
• 在两时间尺度随机系统的框架下，分析小噪声和快时间尺度动力学存在时，慢分量的罕见事件行为。
• 将现有针对多尺度扩散过程的大偏差结果推广至具有非线性和非梯度结构的无穷维SPDE。
• 通过应用Budhiraja与Dupuis（2010）提出的弱收敛准则，简化LDP的分析过程，避免使用更复杂的粘性或弱收敛方法。

提出的方法

• 应用Budhiraja与Dupuis（2010）提出的弱收敛准则，证明两时间尺度SPDE系统中慢分量的大偏差原理。
• 引入原系统的受控版本，其中噪声被控制过程 $ u^ ho $ 取代，从而能够使用弱收敛方法。
• 在时间尺度分离 $ ho = ho( ho) $ 条件下，分析当 $ ho \to 0 $ 时受控过程 $ (X^{ ho, ho,u^ ho}, Y^{ ho, ho,u^ ho}) $ 的收敛性。
• 在适当的紧致性和连续性条件下，利用受控过程在分布意义上的收敛性，使其收敛于由平均方程控制的极限。
• 利用Sobolev嵌入和半群 $ e^{tA} $ 的正则性估计，以及对非线性双线性算子 $ b(x,y,z) $ 的有界性控制，以处理Burgers方程和反应-扩散方程中的非线性项。
• 通过弱收敛准则建立控制映射像的紧致性与紧致性，确保速率函数的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当慢分量为随机Burgers方程、快分量为随机反应-扩散方程时，两时间尺度系统是否满足弗里德林-温茨勒型大偏差原理？
• RQ2 Budhiraja与Dupuis（2010）提出的弱收敛准则能否有效应用于此类多尺度SPDE系统的LDP证明？
• RQ3 在此类两时间尺度SPDE背景下，大偏差原理的速率函数具有何种结构？
• RQ4 Burgers方程中的非线性项以及慢-快分量之间的耦合如何影响大偏差行为？
• RQ5 为确保LDP的有效性，系数 $ f, g, \rho_1, \rho_2 $ 需要满足哪些正则性和增长条件？

主要发现

• 为两时间尺度SPDE系统中慢分量 $ X^{ ho, ho} $ 建立了弗里德林-温茨勒型大偏差原理，速率函数通过弱收敛准则定义。
• 速率函数 $ I(g) $ 表示为 $ \frac{1}{2} \int_0^T \|u(s)\|^2 ds $，其中 $ u $ 为控制过程，满足 $ g = \Gamma^0(\int_0^\cdot u(s) ds) $，且 $ \Gamma^0 $ 为受控系统的极限。
• 在系数和噪声算子的适当条件下，受控过程 $ (X^{ ho, ho,u^ ho}, Y^{ ho, ho,u^ ho}) $ 在分布意义下收敛于确定性极限，该结论基于弱收敛准则。
• 分析依赖于半群 $ e^{tA} $ 在Sobolev范数下的统一估计，包括形如 $ \|e^{tA}x\|_\gamma \leq C t^{-(\gamma-\theta)/2} \|x\|_\theta $ 的界，以控制解的正则性。
• 与Burgers非线性相关的双线性算子 $ b(x,y,z) $ 在适当的指标条件下满足 $ |b(x,y,z)| \leq C \|x\|_{\alpha_1} \|y\|_{\alpha_2+1} \nolinebreak \|z\|_{\alpha_3} $，从而保证有界性和连续性。
• 建立了控制映射在状态空间中像的紧致性，这对于弱收敛方法的适用性以及LDP的成立至关重要。