[论文解读] Large deviation principle for Poisson driven SDEs in epidemic models

Étienne Pardoux, Brice Samegni-Kepgnou|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文為由泊松过程驱动的一类流行病模型建立了大偏差原理（LDP），采用一种新颖的方法，简化了Pardoux与Kratz先前的工作。通过在定义域和速率函数上引入正则化假设，作者推导出经验过程的良好速率函数，从而实现对过渡速率趋于零的随机流行病动力学中罕见事件的分析。

ABSTRACT

We consider a general class of epidemic models obtained by applying a random time change to a collection of Poisson processes and we show the large deviation principle for such models. We generalize to a more general situation the approach followed by Dolgoaschinnykh [3] in the case of the SIR epidemic model. Thanks to an assumption which is satisfied in many examples, we simplify the recent work by P. Kratz and E. Pardoux [8].

研究动机与目标

• 为一类由泊松过程驱动、过渡速率可能趋于零的一般性流行病模型建立大偏差原理（LDP）。
• 通过在状态空间上引入几何正则化假设，简化Pardoux与Kratz近期提出的LDP证明。
• 为过渡速率可能趋近于零的随机流行病模型提供严谨的大偏差框架，例如在罕见事件分析中的应用。
• 推导从吸引域中退出时间的指数估计，将LDP与首次 hitting 时间渐近性联系起来。

提出的方法

• 将流行病过程建模为跳跃马尔可夫过程，利用带状态依赖速率的泊松过程的随机时间变换。
• 将经验过程 $ Z^N(t) $ 定义为泊松增量的归一化和，其中跳跃向量为 $ h_j $，速率函数为 $ \beta_j(z) $。
• 通过一族映射 $ \Phi_a(z) $ 实现定义域正则化，将点映射至单纯形 $ A $ 的内部，确保与边界保持一致距离。
• 通过使用指数切比雪夫型不等式和路径逼近，证明路径事件对数概率的上下界，从而建立LDP。
• 利用受控常微分方程的泛函积分定义速率函数 $ I_T(\phi) $，该函数由系统的哈密顿函数导出。
• 应用压缩原理和紧致性论证，将LDP扩展至斯科罗霍德空间 $ D_{T,A} $ 中的开集与闭集。

实验结果

研究问题

• RQ1 当过渡速率趋于零时，能否为泊松过程驱动的SDEs在流行病模型中建立大偏差原理？
• RQ2 通过 $ \Phi_a $ 引入的定义域正则化，相较于先前方法，如何简化LDP的证明？
• RQ3 在大种群极限下，从吸引域中退出的时间 $ \tau^N_O $ 的渐近行为如何？
• RQ4 速率函数 $ I_T(\phi) $ 如何与确定性常微分方程极限及罕见路径偏离相关联？

主要发现

• 概率测度 $ \mathbb{P}^N_z $ 满足大偏差原理，具有良好的速率函数 $ I_T $，确保罕见事件概率的指数衰减。
• 上界通过使用集合 $ F^s_\delta $ 的路径逼近论证建立，指数衰减速率为 $ \exp\{-N(s - \eta)\} $。
• 下界通过构造一条保持在定义域内部且满足所需速率函数条件的受控路径推导得出。
• 从区域 $ O $ 中退出的时间 $ \tau^N_O $ 满足：当 $ N \to \infty $ 时，有 $ \mathbb{P}_z(\exp\{N(V_{\widetilde{\partial O}} - \eta)\} < \tau^N_O < \exp\{N(V_{\widetilde{\partial O}} + \eta)\}) \to 1 $。
• 平均退出时间满足 $ \mathbb{E}_z[\tau^N_O] \asymp \exp\{N V_{\widetilde{\partial O}}\} $，其中 $ V_{\widetilde{\partial O}} = \inf_{y \in \widetilde{\partial O}} V_{\bar{O}}(z^*, y) $。
• 速率函数 $ I_T(\phi) $ 仅对绝对连续路径为有限值，且LDP在初始状态空间的紧子集上一致成立。