[论文解读] Large Deviation Principle for Reflected Poisson driven SDEs in Epidemic Models

Étienne Pardoux, Brice Samegni-Kepgnou|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用 3

一句话总结

本论文为流行病模型中的反射泊松驱动随机微分方程（SDE）建立了大偏差原理（LDP），其中过程被约束在紧致域 O 内。作者将先前针对非反射 SDE 的 LDP 结果扩展至处理边界反射的情形，尤其针对确定性极限（大数定律）表现出特征边界（即向量场与边界相切）的情况，这对研究地方性均衡吸引 basin 的逃逸行为至关重要。

ABSTRACT

We establish a large deviation principle for a reflected Poisson driven SDE. Our motivation is to study in a forthcoming paper the problem of exit of such a process from the basin of attraction of a locally stable equilibrium associated with its law of large numbers. Two examples are described in which we verify the assumptions that we make to establish the large deviation principle.

研究动机与目标

• 为确定性极限具有特征边界（即漂移与边界相切）的流行病模型中的反射泊松驱动 SDE 建立大偏差原理。
• 使能够研究随机流行病模型从局部稳定地方性均衡吸引 basin 的最可能逃逸路径。
• 在两个具体的流行病模型示例中验证 LDP 的假设，证明其在真实世界疾病动力学中的适用性。
• 将 LDP 框架从非反射 SDE 扩展至反射 SDE，尤其解决边界上跳跃速率消失的挑战。

提出的方法

• 通过类似 Skorokhod 的反射机制定义反射 SDE，以确保过程始终保留在紧致域 O 内。
• 采用带速率函数 βj 的时间改变泊松过程公式，其中 βj 为利普希茨连续函数，且可在边界 ∂O 的部分区域消失。
• 通过使用指示函数阻止会导致域外逸出的跳跃，来构造反射过程 Z̃N(t)，从而修改跳跃动态以防止过程离开 O。
• 建立反射过程的大数定律（LLN）极限，证明其收敛于具有漂移 b(z) = ∑βj(z)hj 的确定性常微分方程。
• 使用变分方法证明 LDP，借鉴非反射 SDE 的证明结构，但对处理边界反射和速率消失的论证进行修改。
• 在两个流行病模型示例中验证关键假设（如一致向内指向条件、从内点出发的射线与边界保持一致正距离），包括具有饱和效应的 SIR 型模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于确定性极限具有特征边界的流行病模型中的反射泊松驱动 SDE，大偏差原理是否成立？
• RQ2 边界反射的存在如何影响速率函数以及从吸引 basin 逃逸的最可能路径？
• RQ3 在现实流行病模型（如具有饱和效应的 SIR 或 SIS 型模型）中，LDP 所需假设是否可被验证？
• RQ4 向量场与边界相切在决定随机过程逃逸行为中起什么作用？

主要发现

• 在适当假设下，反射泊松驱动 SDE 满足大偏差原理，其速率函数与非反射版本相同。
• LDP 的证明从非反射情形改编而来，但对反射机制和边界上跳跃速率消失的情况进行了相应修改。
• 在两个流行病模型中验证了 LDP 的假设：一个具有饱和效应的 SIR 型模型，以及一个具有特征边界的两 compartment 模型。
• 存在一个内点 z₀，使得从 z₀ 到 ∂O 的射线不再与 ∂O 相交，这确保了对到边界距离的统一控制，这对证明至关重要。
• 对于 SIR 型模型，边界 ∂O 上的向量场指向西北方向（即 g₁ < 0，g₂ > 0），且在相关边界部分有 g₁ + g₂ > 0，确保轨迹保持在域内。
• 证明表明，从边界点 B 到地方性均衡 z̃ 的轨迹严格位于直线 z₁ + z₂ = 1 之下，这支持了 LDP 所需的几何假设。