[论文解读] Large deviation principle of Freidlin-Wentzell type for pinned diffusion processes

Yuzuru Inahama|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文在较弱的椭圆条件下方，利用粗糙路径理论与准必然分析，为钉扎扩散过程建立了类似Freidlin-Wentzell的大偏差原理。通过将布朗运动准必然地提升为粗糙路径，并采用基于容量的分析方法，作者证明了$μ_{a,a'}^\varepsilon$的律满足大偏差原理，其速率函数为$\|h\|_{\cal H}^2/2$，其中路径$h$属于连接$a$到$a'$的Cameron-Martin空间。

ABSTRACT

Since T. Lyons invented rough path theory, one of its most successful applications is a new proof of Freidlin-Wentzell's large deviation principle for diffusion processes. In this paper we extend this method to the case of pinned diffusion processes under a mild ellipticity assumption. Besides rough path theory, our main tool is quasi-sure analysis, which is a kind of potential theory in Malliavin calculus.

研究动机与目标

• 将Freidlin-Wentzell大偏差原理推广至钉扎扩散过程。
• 解决经典Wiener空间中Itô映射不连续所带来的挑战，需引入新框架。
• 为在两端点均被钉扎的扩散过程的条件律建立大偏差原理。
• 利用粗糙路径理论与准必然分析，克服条件设定下的分析困难。
• 证明速率函数对应于连接初态与终态的控制过程的Cameron-Martin范数。

提出的方法

• 利用拟连续过程理论，将布朗运动准必然地提升为几何粗糙路径$W$。
• 应用Sugita定理，将正的Watanabe分布表示为Wiener空间上的Borel测度。
• 在几何粗糙路径空间上使用Besov型范数，以控制正则性并关联到Hölder范数与变差范数。
• 在粗糙路径空间上构造一个概率测度，其前推映射即为钉扎扩散测度$\mu_{a,a'}^\varepsilon$。
• 利用Lyons-Itô映射在粗糙路径意义下定义SDE的解，确保连续性。
• 在粗糙路径设定下应用压缩原理，利用$\varepsilon W$的大偏差原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过粗糙路径理论将Freidlin-Wentzell大偏差原理推广至钉扎扩散过程？
• RQ2 当$\varepsilon \searrow 0$时，两端点被钉扎的扩散过程的条件律是否满足大偏差原理？
• RQ3 准必然分析能否用于处理Wiener空间框架下由条件化引起的奇异性？
• RQ4 钉扎扩散过程的速率函数是否由连接$a$到$a'$的控制过程的Cameron-Martin范数给出？
• RQ5 如何在该背景下利用粗糙路径空间上的Besov范数，弥合Malliavin微积分与粗糙路径理论之间的鸿沟？

主要发现

• 在较弱的椭圆条件下，测度族$\mu_{a,a'}^\varepsilon$在几何粗糙路径空间上满足大偏差原理。
• 大偏差原理的速率函数由$\|h\|_{\cal H}^2/2$给出，其中$h \in {\cal K}^{a,a'}$，即连接$a$到$a'$的Cameron-Martin路径集合。
• 证明依赖于布朗运动粗糙路径的准必然连续性，以及通过Sugita定理对Watanabe分布的表示。
• 大偏差概率的上界通过将路径分解为紧致部分与尾部部分得到，其中尾部部分通过指数矩与Sobolev范数加以控制。
• 下界通过在粗糙路径空间中用紧集逼近速率函数来建立。
• 结果确认，钉扎扩散的大偏差行为由Cameron-Martin空间中最小能量路径所主导。