[论文解读] Large deviations and adiabatic transitions for dynamical systems and Markov processes in fully coupled averaging

Yuri Kifer|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用 5

一句话总结

本文建立了在完全耦合平均化情形下，慢-快动力系统与马尔可夫过程的大偏差原理，其中快速运动依赖于慢变量。本文推导了大偏差的上下界，使得能够在指数时间尺度上分析平均化系统吸引子之间的罕见绝热跃迁，将经典平均化方法拓展至非解耦情形。

ABSTRACT

The work treats systems combining slow and fast motions depending on each other where fast motions are perturbations of families of either dynamical systems or Markov processes with freezed slow variable. In the first case we consider hyperbolic dynamical systems and in the second case we deal with random evolutions which are combinations of diffusions and continuous time Markov chains. We study first large deviations of the slow motion from the averaged one and then use these results together with some Markov property type arguments in order to describe very long time behavior of the slow motion such as its transitions between attractors of the averaged system.

研究动机与目标

• 将经典平均化原理推广至快速运动依赖于慢变量的完全耦合情形，该情形更具现实意义但数学上更为复杂。
• 为慢变量 $X^\varepsilon$ 与其中平均化极限 $\bar{X}^\varepsilon$ 之间的偏差建立上下大偏差界，超越测度或概率收敛的范畴。
• 分析慢变量在指数时间尺度上的长期行为，特别是平均化系统各吸引子之间的罕见跃迁。
• 为研究具有双曲快速动力学和马尔可夫过程（如扩散过程与连续时间马尔可夫链）的系统中的涨落与绝热跃迁，建立一个理论框架。
• 为建模气候-天气相互作用、受扰动的哈密顿系统等现象提供严格的理论基础，其中时间尺度间的耦合是内在的。

提出的方法

• 运用大偏差理论分析慢变量 $X^\varepsilon$ 围绕其平均化极限 $\bar{X}^\varepsilon$ 的涨落，通过速率函数推导上下界。
• 应用 $S$-泛函形式刻画控制大偏差的泛函作用，利用双曲情形下的马尔可夫性论证与马尔可夫过程情形下的精确马尔可夫性。
• 通过将慢变量划分为时间区间，结合时间区间划分与经验测度，实现时间尺度分离，以控制偏差。
• 利用Young测度与遍历理论处理弱极限与快速流动 $F^t_x$ 的不变测度 $\mu_x$，确保平均化向量场 $\bar{B}(x)$ 的定义良好。
• 采用耦合论证与集中不等式控制实际慢变量与其平均化版本之间的差异，依赖于快速动力学的利普希茨连续性与双曲性。
• 通过类比的大偏差与平均化论证，将结果推广至离散时间差分方程与随机演化过程，包括随机共振作为特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典平均化原理推广至快速运动依赖于慢变量（即完全耦合情形）的系统，而非独立情形？
• RQ2 在时间尺度 $1/\varepsilon$ 上，慢变量 $X^\varepsilon$ 与其平均化极限 $\bar{X}^\varepsilon$ 之间的偏差由何种大偏差原理控制？
• RQ3 在指数时间尺度 $\exp(1/\varepsilon)$ 上，慢变量的行为如何，特别是其在平均化系统吸引子之间的罕见跃迁行为？
• RQ4 大偏差速率函数与泛函作用如何刻画完全耦合设定下各吸引子盆地之间的绝热跃迁？
• RQ5 在何种条件下，平均化系统能准确描述全系统的长期随机行为，特别是当快速运动为马尔可夫过程时？

主要发现

• 在完全耦合情形下，为慢变量 $X^\varepsilon$ 建立了上下大偏差界，从而实现完整的弗雷德林-温茨勒型大偏差原理。
• 大偏差速率函数通过一个涉及平均化向量场 $\bar{B}(x)$ 与快速运动不变测度 $\mu_x$ 的作用积分表征。
• 在指数时间尺度上，慢变量表现出在平均化系统吸引子邻域之间的罕见绝热跃迁，其行为由大偏差速率函数所支配。
• 在适当的遍历性与正则性条件下，平均化原理的形式 $\varepsilon \int E[\sup_t |X^\varepsilon(t) - \bar{X}^\varepsilon(t)|] \to 0$ 被强化为对所有有界连续函数 $f$ 的一致收敛。
• 对于扩散过程或连续时间马尔可夫链等马尔可夫快速运动，若存在光滑且正的不变密度 $q(x,y)$ 且对 $\lambda$-几乎处处的 $x$ 满足遍历性，则大偏差界成立。
• 结果可推广至离散时间差分方程与随机演化过程，通过类似技术推导出相应的大偏差与平均化结果。