[论文解读] Large deviations and mixing for dissipative PDE's with unbounded random kicks

Vojkan Jakšić, Vahagn Nersesyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 14

一句话总结

本文建立了由耗散PDE（如二维Navier–Stokes方程和复Ginzburg–Landau方程）生成的离散时间马尔可夫过程在无界独立同分布随机扰动下的大偏差原理（LDP）。在耗散性、正则化和非退化条件下，证明了指数混合性及唯一平稳测度的存在性，将先前针对有界噪声的结果推广至无界噪声情形。主要贡献在于严格验证了在无界噪声环境下对势态测度的大偏差原理，其应用涵盖流体动力学PDE。

ABSTRACT

We study the problem of exponential mixing and large deviations for discrete-time Markov processes associated with a class of random dynamical systems. Under some dissipativity and regularisation hypotheses for the underlying deterministic dynamics and a non-degeneracy condition for the driving random force, we discuss the existence and uniqueness of a stationary measure and its exponential stability in the Kantorovich-Wasserstein metric. We next turn to the large deviation principle and establish its validity for the occupation measures of the Markov processes in question. The obtained results extend those established earlier for the case of the bounded noise and can be applied to the 2D Navier-Stokes system in a bounded domain and to the complex Ginzburg-Landau equation.

研究动机与目标

• 将大偏差原理（LDP）从有界随机扰动推广至耗散PDE中的无界随机扰动。
• 为由此类PDE生成的马尔可夫过程建立指数混合性及唯一平稳测度的存在性。
• 在无界噪声设定下验证势态测度的大偏差原理，其中标准的指数紧致性不再充分。
• 将[JNPS12]的结果推广至包含无界噪声的情形，特别是Sobolev空间中的高斯扰动。
• 为研究具有无界噪声的随机强迫PDE中的罕见事件与长期行为提供严格框架。

提出的方法

• 采用由耗散PDE在无界独立同分布扰动下的解流生成的离散时间马尔可夫过程框架。
• 应用Kifer的判据，通过验证指数紧致性与压力函数的存在性来建立LDP。
• 利用超指数递归性与指数紧致性估计来控制过程的尾部行为。
• 通过广义Feller性质与耦合技术证明在Kantorovich–Wasserstein度量下的指数稳定性。
• 应用乘法遍历定理与特征向量存在性分析来研究马尔可夫半群的谱性质。
• 依赖Foiaş–Prodi型估计来控制不同初值与噪声实现下轨迹之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由耗散PDE在无界随机扰动下生成的马尔可夫过程的势态测度，大偏差原理是否成立？
• RQ2 当噪声非退化且属于Sobolev空间时，是否可在无界噪声下建立指数混合性及唯一平稳测度的存在性？
• RQ3 与有界噪声情形相比，系统在大偏差与尾部估计方面的行为有何不同？
• RQ4 在无界设定下，LDP中的压力函数在什么条件下是良定义且有限的？
• RQ5 抽象结果能否应用于具体的PDE，如二维Navier–Stokes系统与复Ginzburg–Landau方程？

主要发现

• 在无界噪声设定下，马尔可夫过程的势态测度满足大偏差原理，将先前针对有界扰动的结果推广至无界扰动情形。
• 在耗散性、正则化与非退化条件下，存在唯一平稳测度，且其在Kantorovich–Wasserstein度量下具有指数混合性。
• 通过超指数递归估计与噪声的矩界，建立了指数紧致性，确保LDP的有效性。
• LDP中的压力函数是有限且良定义的，且平衡态唯一，该结论通过乘法遍历定理与特征向量分析得到验证。
• 结果适用于有界区域内的二维Navier–Stokes系统及H^2空间中具有无界高斯扰动的复Ginzburg–Landau方程。
• 证明依赖于广义Feller性质与耦合技术，以确保对所有初值分布，过程以一致方式收敛至平稳测度。