[论文解读] Large deviations for a random speed particle

R. Lefevere, Mauro Mariani+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了粒子在盒内运动时，其经验测度在边界处以随机速度进行随机重置的罕见概率行为，其中速度为来自重尾分布的独立同分布随机变量。研究发现，当速度分布的尾部表现出显著振荡时，经验测度不再满足标准的大偏差原理，而是表现出与多姆斯克-瓦拉达汉泛函显著不同的最优下界和上界速率泛函，这是由重尾引起的长程依赖所导致的。

ABSTRACT

We investigate large deviations for the empirical measure of the position and momentum of a particle traveling in a box with hot walls. The particle travels with uniform speed from left to right, until it hits the right boundary. Then it is absorbed and re-emitted from the left boundary with a new random speed, taken from an i.i.d. sequence. It turns out that this simple model, often used to simulate a heat bath, displays unusually complex large deviations features, that we explain in detail. In particular, if the tail of the update distribution of the speed is sufficiently oscillating, then the empirical measure does not satisfy a large deviations principle, and we exhibit optimal lower and upper large deviations functionals.

研究动机与目标

• 分析在有界区间内具有随机速度更新动力学的粒子的经验测度的大偏差行为。
• 识别标准多姆斯克-瓦拉达汉大偏差原理不成立的条件。
• 刻画当速度分布具有导致长返回时间的重尾时，经验测度的行为特征。
• 在标准速率泛函失效的情况下，构造最优的下界和上界大偏差泛函。
• 解释为何在重尾返回时间存在时，标准更新理论和反演技术会失效。

提出的方法

• 将粒子建模为马尔可夫过程，当撞击右边界时以独立同分布的速度重新设定，使用更新过程结构，其中碰撞间隔时间 $\tau_i = 1/v_i$。
• 在 $[0,1) \times \mathbb{R}_+$ 上定义经验测度 $\mu_t = \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{(q_s,p_s)} \, ds$，并在弱拓扑下研究其大偏差行为。
• 利用过程的生成元 $L$，其表达式为 $Lg(q,p) = p \partial_q g$，并带有边界条件 $g(1,p) = \int \psi(d\tau) g(0,1/\tau)$，以分析动力学行为。
• 应用多姆斯克-瓦拉达汉变分公式 $I(\mu) = \sup_{g>0, g \in D(L)} (-\langle g^{-1} Lg \rangle_\mu)$ 来计算速率泛函。
• 分析 $\mathbb{E}[\exp(c/v_i)]$ 在 $c>0$ 时的行为，以判断速度分布的尾部是否导致极慢速度的非可忽略概率。
• 当标准多姆斯克-瓦拉达汉泛函因速度分布尾部的振荡而失效时，构造最优的下界和上界大偏差泛函。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种速度分布条件下，随机速度粒子的经验测度不满足大偏差原理？
• RQ2 速度 $v_i$ 的重尾分布如何影响其收敛到不变测度的过程，以及标准大偏差理论的有效性？
• RQ3 当多姆斯克-瓦拉达汉泛函因长返回时间而不可用时，速率泛函的结构是怎样的？
• RQ4 为何在返回时间 $1/v_i$ 具有重尾时，标准更新技术和反演方法会失效？
• RQ5 在标准LDP不成立的情况下，能否构造出最优的下界和上界大偏差泛函？

主要发现

• 若速度分布的尾部足够振荡，且存在 $c>0$ 使得 $\mathbb{E}[\exp(c/v_i)] = \infty$，则经验测度不满足大偏差原理。
• 当多姆斯克-瓦拉达汉泛函失效时，速率泛函可能与标准形式显著不同，经验测度可能集中在相对于不变测度奇异的测度上。
• 速度分布中重尾的存在导致其收敛到不变测度的速度变慢，并使基于指数矩的标准大偏差技术失效。
• 标准方法的失效源于更新过程的不规则性以及速度倒数的无界性，这破坏了反演映射的适用性。
• 在尾部振荡的情况下，明确构造了最优的下界和上界大偏差泛函，表明系统表现出非标准的罕见事件行为。
• 分析表明，概率呈指数级小的事件可能由极慢速度 $v_i \sim t^{-1}$ 的发生主导，这些事件在大偏差尺度下不可忽略。