[论文解读] Large deviations for Branching Processes in Random Environment

Vincent Bansaye, Julien Berestycki|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Oct 28, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 36

一句话总结

本文建立了随机环境中分支过程（BPRE）的大偏差原理，表明非典型增长率源于罕见的环境序列。当 $ c < \bar{L} $ 时，推导出事件 $ Z_n \leq e^{cn} $ 的精确速率函数，并证明在该事件条件下，轨迹 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 以概率收敛于一个分段线性确定性函数 $ f_c(t) $，该函数在增长以非典型速率恢复之前存在一个时间延迟 $ t_c $。

ABSTRACT

A branching process in random environment $(Z_n, n \in \N)$ is a generalization of Galton Watson processes where at each generation the reproduction law is picked randomly. In this paper we give several results which belong to the class of {\it large deviations}. By contrast to the Galton-Watson case, here random environments and the branching process can conspire to achieve atypical events such as $Z_n \le e^{cn}$ when $c$ is smaller than the typical geometric growth rate $\bar L$ and $ Z_n \ge e^{cn}$ when $c &gt; \bar L$. One way to obtain such an atypical rate of growth is to have a typical realization of the branching process in an atypical sequence of environments. This gives us a general lower bound for the rate of decrease of their probability. When each individual leaves at least one offspring in the next generation almost surely, we compute the exact rate function of these events and we show that conditionally on the large deviation event, the trajectory $t \mapsto \frac1n \log Z_{[nt]}, t\in [0,1]$ converges to a deterministic function $f_c :[0,1] \mapsto \R_+$ in probability in the sense of the uniform norm. The most interesting case is when $c &lt; \bar L$ and we authorize individuals to have only one offspring in the next generation. In this situation, conditionally on $Z_n \le e^{cn}$, the population size stays fixed at 1 until a time $ \sim n t_c$. After time $n t_c$ an atypical sequence of environments let $Z_n$ grow with the appropriate rate ($ eq \bar L$) to reach $c.$ The corresponding map $f_c(t)$ is piecewise linear and is 0 on $[0,t_c]$ and $f_c(t) = c(t-t_c)/(1-t_c)$ on $[t_c,1].$

研究动机与目标

• 分析环境为独立同分布的分支过程中的大偏差事件，其中繁殖律随时间随机变化。
• 刻画非典型增长事件（如 $ Z_n \leq e^{cn} $，其中 $ c < \bar{L} $，$ \bar{L} $ 为典型增长率）的概率衰减速率。
• 确定在大偏差条件下的过程轨迹 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 的渐近行为。
• 为亚临界与超临界偏差建立精确速率函数，特别是当个体几乎必然仅留下一个后代时。

提出的方法

• 通过鞅 $ W_n = Z_n / M_n $（其中 $ M_n = \prod_{i=1}^n m(\mathbf{p}_i) $）使用测度变换技术，分析大偏差概率。
• 应用Cramér定理与压缩原理，通过 $ \log m(\mathbf{p}) $ 的矩生成函数推导速率函数的下界。
• 使用矩生成函数界与马尔可夫不等式，控制不同环境序列下 $ Z_n $ 的尾部概率。
• 通过生成函数的递归复合 $ F_n = f_0 \circ \cdots \circ f_{n-1} $，控制 $ Z_n $ 的高阶矩，尤其在临界/亚临界情况下。
• 应用一个关键引理，控制迭代生成函数导数的增长，以确保对固定的 $ k $，有 $ \mathbb{E}[F_n^{(k)}(1)] $ 在 $ n $ 上为多项式增长。
• 分析在大偏差条件下的轨迹 $ t \mapsto \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 的条件极限，证明其以概率收敛于一个确定性的分段线性函数 $ f_c(t) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在独立同分布的随机环境BPRE中，当 $ c < \bar{L} $ 时，事件 $ Z_n \leq e^{cn} $ 的精确速率函数是什么？
• RQ2 在 $ Z_n \leq e^{cn} $ 条件下，种群轨迹 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 如何表现，特别是当个体几乎必然仅留下一个后代时？
• RQ3 稀少环境序列与种群动态之间的相互作用是否会导致非典型增长率？如果是，这在路径极限中如何体现？
• RQ4 当 $ c > \bar{L} $ 时，$ \mathbb{P}(Z_n \geq e^{cn}) $ 的精确衰减速率是什么？与亚临界情况相比有何不同？

主要发现

• 当 $ c < \bar{L} $ 时，推导出 $ \mathbb{P}(Z_n \leq e^{cn}) $ 的精确速率函数，并证明在该事件条件下，过程轨迹 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 以概率收敛于一个确定性函数 $ f_c(t) $。
• 极限轨迹 $ f_c(t) $ 为分段线性：在 $ [0, t_c] $ 上为零，在 $ [t_c, 1] $ 上为 $ f_c(t) = c(t - t_c)/(1 - t_c) $，其中 $ t_c $ 为种群开始以非典型速率 $ c \neq \bar{L} $ 增长的时间。
• 种群在时间 $ nt_c $ 前保持大小为1，之后由罕见的环境序列触发，以速率 $ c $ 增长，表明对环境稀少性的延迟响应。
• 当 $ c > \bar{L} $ 时，通过矩生成函数 $ \psi $ 推导出速率函数，衰减速率由 $ \sup_{\eta \leq c - \bar{L}} \min(s\eta, \psi(c - \eta)) $ 给出，其中 $ s $ 趋近于临界值 $ s_{\max} $。
• 在临界或亚临界情形（即 $ \mathbb{P}(m(\mathbf{p}) \leq 1) = 1 $）下，本文证明 $ \mathbb{P}(Z_n \geq c^n) $ 的衰减快于任意指数，方法是利用对 $ \mathbb{E}[F_n^{(k)}(1)] $ 的矩界。
• 通过关于生成函数迭代导数的递归引理，建立了不等式 $ \mathbb{E}[F_n^{(k)}(1)] \leq C_k n^{k^k} $，从而可利用马尔可夫不等式控制大偏差。