[论文解读] Large deviations for empirical measures generated by Gibbs measures with singular energy functionals

Paul Dupuis, Vaios Laschos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 8

一句话总结

本文利用弱收敛方法，为具有奇异能量泛函的吉布斯分布所支配的n粒子系统，建立了关于经验测度的大偏差原理（LDPs），并在Wasserstein型拓扑下推导出LDPs。该研究为所有速度提供了统一框架，包括bn = n的情形，此时速率函数中会出现熵项，从而解决了先前关于具有奇异排斥作用的束缚粒子系统中LDPs的开放性问题。

ABSTRACT

We establish large deviation principles (LDPs) for empirical measures associated with a sequence of Gibbs distributions on n-particle configurations, each of which is defined in terms of an inverse temperature bn and an energy functional that is the sum of a (possibly singular) interaction and confining potential. Under fairly general assumptions on the potentials, we establish LDPs both with speeds (bn)/(n) { extregistered} { extyen}, in which case the rate function is expressed in terms of a functional involving the potentials, and with the speed bn =n, when the rate function contains an additional entropic term. Such LDPs are motivated by questions arising in random matrix theory, sampling and simulated annealing. Our approach, which uses the weak convergence methods developed in ``A weak convergence approach to the theory of large deviations", establishes large deviation principles with respect to stronger, Wasserstein-type topologies, thus resolving an open question in "First-order global asymptotics for confined particles with singular pair repulsion". It also provides a common framework for the analysis of LDPs with all speeds, and includes cases not covered due to technical reasons in previous works.

研究动机与目标

• 在一般条件下，为具有奇异相互作用和束缚势的n粒子系统的经验测度建立大偏差原理（LDPs）。
• 解决关于具有奇异对排斥作用的束缚粒子在Wasserstein型拓扑下LDPs的开放性问题。
• 为所有速度（包括临界情形bn = n）提供分析LDPs的统一框架。
• 在速度bn = n时，将熵项纳入速率函数，扩展先前的结果。
• 将结果应用于随机矩阵理论、抽样和模拟退火问题，其动机源于物理与统计力学的背景。

提出的方法

• 利用大偏差理论中的弱收敛方法，推导出在更强的Wasserstein型拓扑下的LDPs。
• 分析由逆温度bn和结合奇异相互作用与束缚势的能量泛函所定义的吉布斯测度。
• 在两种情形下推导速率函数：当速度为(bn)/n时，速率函数依赖于势函数；当速度为bn = n时，额外出现熵项。
• 采用变分方法，以包含势函数和熵的自由能泛函来表征速率函数。
• 在一般假设下建立收敛性，包括奇异性的势函数，且无需施加限制先前研究的技术性约束。
• 利用该框架统一并扩展先前结果，特别是关于束缚粒子的一阶全局渐近分析的成果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般势函数假设下，具有奇异能量泛函的n粒子系统的经验测度由何种大偏差原理支配？
• RQ2 当速度为(bn)/n与bn = n时，速率函数如何变化，特别是熵项的出现有何影响？
• RQ3 对于具有奇异性的吉布斯系统，能否在更强的拓扑（如Wasserstein型度量）下建立LDPs？
• RQ4 束缚势与奇异相互作用在塑造经验测度的大偏差行为中起何种作用？
• RQ5 如何利用弱收敛方法统一并扩展现有关于具有奇异相互作用的粒子系统LDP结果？

主要发现

• 本文在Wasserstein型拓扑下为经验测度建立了大偏差原理，解决了束缚粒子系统中奇异排斥作用分析的开放性问题。
• 当速度为(bn)/n时，速率函数表示为仅涉及相互作用势和束缚势的泛函，不包含熵项。
• 当速度为bn = n时，速率函数中包含额外的熵项，反映了系统的统计涨落。
• 该框架适用于一大类势函数，包括奇异相互作用，且无需先前研究中的技术性限制。
• 该结果为所有速度下的LDP分析提供了统一的理论基础，统一了此前零散的研究方法。
• 该方法可推广至随机矩阵理论、抽样和模拟退火等应用，为这些场景提供了严谨的大偏差描述。