[论文解读] Large deviations for empirical path measures in cycles of integer partitions

Stefan Adams|ArXiv.org|Feb 2, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文为在 $\mathbb{R}^d$ 上 $N$ 个布朗运动的系统中，具有对称初始-终端条件的实测路径测度建立了大偏差原理，其中路径通过一个随机排列相互关联。关键结果识别出在大 $N$ 极限下的相变：当 $d \geq 3$ 时，在高密度或长时域下，正比例的路径形成无限长度的环路，可被解释为路径测度版本的玻色-爱因斯坦凝聚。

ABSTRACT

Consider a large system of $N$ Brownian motions in $\mathbb{R}^d$ on some fixed time interval $[0,β]$ with symmetrised initial-terminal condition. That is, for any $i$, the terminal location of the $i$-th motion is affixed to the initial point of the $σ(i)$-th motion, where $σ$ is a uniformly distributed random permutation of $1,...,N$. In this paper, we describe the large-N behaviour of the empirical path measure (the mean of the Dirac measures in the $N$ paths) when $ Λ\uparrow\mathbb{R}^d $ and $ N/|Λ| oρ$. The rate function is given as a variational formula involving a certain entropy functional and a Fenchel-Legendre transform. Depending on the dimension and the density $ ρ$, there is phase transition behaviour for the empirical path measure. For certain parameters (high density, large time horizon) and dimensions $ d\ge 3 $ the empirical path measure is not supported on all paths $ [0,\infty) o\mathbb{R}^d $ which contain a bridge path of any finite multiple of the time horizon $ [0,β] $. For dimensions $ d=1,2 $, and for small densities and small time horizon $ [0,β] $ in dimensions $ d\ge 3$, the empirical path measure is supported on those paths. In the first regime a finite fraction of the motions lives in cycles of infinite length. We outline that this transition leads to an empirical path measure interpretation of {\it Bose-Einstein condensation}, known for systems of Bosons.

研究动机与目标

• 分析在 $\mathbb{R}^d$ 上 $N$ 个布朗运动系统中，具有对称初始-终端条件的实测路径测度在大 $N$ 时的行为。
• 在 $N \to \infty$ 且 $\Lambda_N \uparrow \mathbb{R}^d$ 的条件下，推导实测路径测度的大偏差原理，其中 $N/|\Lambda_N| \to \rho$。
• 根据维度 $d$、密度 $\rho$ 和时域 $\beta$，识别实测路径测度中的相变行为。
• 将系统中无限长度环路的出现与量子统计力学中玻色子的玻色-爱因斯坦凝聚现象联系起来。
• 通过涉及熵和 Fenchel-Legendre 变换的变分公式表达速率函数，将其与整数分拆的离散形状测度联系起来。

提出的方法

• 将对称测度 $\mathbb{P}_N^{\rm sym}$ 定义为所有排列 $\sigma \in \mathfrak{S}_N$ 和初始位置 $x_i \in \Lambda_N$ 的平均值，其中路径被约束为返回至排列后的终点。
• 构造实测路径测度 $L_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \delta_{B^{(i)}}$，表示系统中路径分布的平均值。
• 在 $N/|\Lambda_N| \to \rho$ 的缩放下，对 $L_N$ 应用大偏差理论，通过变分公式推导出速率函数。
• 将速率函数表达为熵项（控制整数分拆的离散形状测度）与自由能泛函的 Fenchel-Legendre 变换之和。
• 利用费曼-克莱克表示法，将路径测度与玻色子的量子统计力学（特别是正则配分函数）联系起来。
• 分析由路径终点诱导的排列的环路结构，将环路长度与动量空间中低动量态的宏观占据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系统被限制在扩展的盒子 $\Lambda_N \subset \mathbb{R}^d$ 中，且粒子密度 $\rho$ 固定时，实测路径测度在大 $N$ 极限下的行为如何？
• RQ2 在维度 $d$、密度 $\rho$ 和时域 $\beta$ 的何种条件下，实测路径测度会表现出相变？
• RQ3 路径系统中无限长度环路的出现与量子系统中玻色-爱因斯坦凝聚之间有何联系？
• RQ4 实测路径测度的速率函数如何分解为熵与自由能分量？
• RQ5 整数分拆的离散形状测度以何种方式控制系统环路结构的大 $N$ 行为？

主要发现

• 当 $d \geq 3$ 且密度较高或时域 $\beta$ 较长时，实测路径测度不再支持所有路径，且存在正比例的路径形成无限长度的环路。
• 在维度 $d = 1,2$，以及在 $d \geq 3$ 时密度 $\rho$ 较小且时域 $\beta$ 较小时，实测路径测度支持所有路径，且无宏观环路。
• 无限长度环路的出现对应于玻色子量子系统中玻色-爱因斯坦凝聚的相变。
• 实测路径测度的速率函数通过涉及整数分拆的离散形状测度熵和 Fenchel-Legendre 变换的变分公式表达。
• 由路径终点诱导的随机排列 $\sigma$ 的环路结构与动量空间中零动量态的宏观占据直接相关。
• 相变的临界阈值取决于维度 $d$、密度 $\rho$ 和时域 $\beta$，当系统的自由能有利于长环路时发生相变。