[论文解读] Large Deviations for Past-Dependent Recursions

Fima C. Klebaner, R. Liptser|ArXiv.org|Mar 16, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文通过噪声过程的连续映射，利用压缩原理，建立了带小噪声的非马尔可夫、过去依赖随机递推的大型偏差原理（LDP）。关键贡献在于路径LDP的显式速率函数，以及在马尔可夫情形下区间退出时间的渐近表达式，其推导基于噪声分布的Cramér型条件。

ABSTRACT

The Large Deviation Principle is established for stochastic models defined by past-dependent non linear recursions with small noise. In the Markov case we use the result to obtain an explicit expression for the asymptotics of exit time.

研究动机与目标

• 为一般过去依赖的非线性随机递推（带小噪声）建立大型偏差原理（LDP）。
• 在ρ-度量下的无限序列空间中，推导路径LDP的显式速率函数表达式。
• 分析马尔可夫情形（m=1）下有界区间退出时间的渐近行为，特别是从[-1,1]区间退出的情形。
• 提供噪声分布的充分条件（通过Cramér条件及矩生成函数的标度行为），以确保LDP成立。

提出的方法

• 应用压缩原理（Varadhan方法），通过递推关系f定义的连续映射，将i.i.d.噪声序列(εξk)的LDP转移至解路径(Xkε)。
• 利用Dawson-Gärtner定理，将LDP从有限维投影扩展至无限维路径空间(R∞, ρ)。
• 将速率函数J∞(ū)定义为对噪声增量vk的下确界之和，使得uk = f(uk−1, ..., uk−m, vk)，并确保与初始条件一致。
• 建立噪声分布的条件(A.1)–(A.3)，包括Cramér条件及矩生成函数H(t)的标度行为，以确保噪声族εξ的LDP成立。
• 利用时间齐次性与马尔可夫性，推导生存概率P(maxk≤Mn |Xkε| < 1)的递归界，从而得到n的几何衰减。
• 利用递推关系与几何级数界，将期望退出时间与首次通过概率P0(max1≤k≤M |Xkε| ≥ 1)关联，实现渐近分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在空间(R∞, ρ)中，解族(Xkε)k≥m在何种条件下满足大型偏差原理？
• RQ2 过去依赖的非线性递推路径LDP的速率函数J∞(ū)的显式形式为何？
• RQ3 在马尔可夫情形下，当ε → 0时，区间[-1,1]的退出时间τε的渐近行为如何？
• RQ4 矩生成函数H(t)的标度行为在确定噪声过程速率函数I(v)时起何作用？

主要发现

• 解族(Xkε)k≥m在(R∞, ρ)中满足LDP，其速率函数为J∞(ū) = ∑k=m∞ inf{vk : uk = f(uk−1, ..., uk−m, vk)} I(vk)，其中I(v)为矩生成函数的缩放Fenchel-Legendre变换。
• 在马尔可夫情形（m=1）下，期望退出时间的渐近行为满足limε→0 ε² log E[τε] = −(1/2)(1 − a²)，其中a为线性模型中的自回归系数。
• 在条件(A.1)–(A.3)下，噪声序列(εξk)的LDP成立，包括Cramér条件及H(t)的适当标度，使得I(v) = limε→0 q(ε)L(v/ε)有定义且具有紧水平集。
• 概率P(max1≤k≤M |Xkε| ≥ 1)随ε → 0指数衰减，其对数渐近行为用于通过生存概率的几何衰减来界定期望退出时间。
• 递推关系P(τε > Mn) ≤ [1 − P0(max1≤k≤M |Xkε| ≥ 1)]ⁿ导出几何级数界，从而实现退出时间渐近表达式的推导。
• 由于此前未察觉的退出时间渐近表达式错误，2006年发表了定理2.2的更正版本，凸显了结果对精确概率界的高度敏感性。