[论文解读] Large deviations for some corner growth models with inhomogeneity

Elnur Emrah, Christopher Janjigian|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用 14

一句话总结

本论文为具有依赖于随机行与列参数的指数分布权重的非齐次角生长模型建立了大偏差原理。在 quenched 与 annealed 设置下，推导了右尾率函数的可处理变分表示，并提供了与 KPZ 型波动一致的形状函数附近的展开式。

ABSTRACT

We study an inhomogeneous generalization of the classical corner growth in which the weights are exponentially distributed with random parameters. Our main interest is in the quenched and annealed large deviation properties of the last passage times. We derive variational representations of the rate functions for right tail large deviations. The quenched rate function can be computed explicitly for certain choices of the parameter distributions. We present a mechanism for rate n left tail annealed large deviations. In the quenched model these deviations have rate strictly greater than n. The annealed right tail rate function is connected to the quenched rate function through a variational problem involving relative entropy. We identify the speed at which the rate functions decay to zero near the shape function.

研究动机与目标

• 分析具有非齐次指数权重的角生长模型中最后一 passage 时间的大偏差性质。
• 推导 quenched 与 annealed 设置下右尾大偏差率函数的可处理变分表示。
• 估计左尾大偏差，并分析形状函数附近的波动行为。
• 通过在确定性形状函数附近计算展开式，将率函数与 KPZ 普适性联系起来。
• 将已知的 i.i.d. 模型结果推广至具有随机行与列参数的非齐次设置。

提出的方法

• 将权重建模为独立的指数随机变量，其均值为 $(a_i + b_j)^{-1}$，其中 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 为远离零的独立同分布序列。
• 通过条件化或对随机参数 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 取平均，定义 quenched 与 annealed 测度。
• 利用次可加遍历理论，证明 $n^{-1}G(\lfloor ns\rfloor, \lfloor nt\rfloor)$ 几乎必然收敛到一个确定性极限。
• 通过累积量生成函数的 Legendre-Fenchel 变换，推导右尾率函数的变分表示。
• 应用 Hölder 不等式与单调性论证，证明率函数在 $(s,t)$ 上的凸性与齐次性。
• 通过缩放与逼近论证，将结果从有理数 $s,t > 0$ 扩展至实数 $s,t > 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 quenched 与 annealed 测度下，非齐次角生长模型中最后一 passage 时间的大偏差率函数是什么？
• RQ2 右尾率函数在形状函数附近的行为如何？它们是否表现出 KPZ 型波动标度？
• RQ3 累积量生成函数 $\mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ 与 $\mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ 的渐近行为是什么？
• RQ4 quenched 与 annealed 设置下的率函数有何不同？非齐次性起到了什么作用？
• RQ5 左尾大偏差能否被估计？它们与右尾行为相比如何？

主要发现

• 在 quenched 设置下，右尾大偏差率函数由涉及权重累积量生成函数的变分公式给出。
• 在 annealed 设置下，率函数同样是变分形式，并可表示为对随机参数 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的期望。
• 率函数在形状函数附近的展开与 $n^{1/3}$ 标度波动一致，表明存在 KPZ 型行为。
• 累积量生成函数 $\mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ 与 $\mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ 几乎必然收敛，且在 $\lambda$ 上为凸函数且非减。
• $\lambda \mapsto \lambda \mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ 与 $\lambda \mapsto \lambda \mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ 在 $(s,t)$ 上为齐次且凹函数。
• 大偏差原理以速度 $n$ 成立，率函数通过次可加遍历理论与缩放极限刻画。