[论文解读] Large Deviations for SPDEs of Jump Type

Xue Yang, Jianliang Zhai+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了在希尔伯特空间 $H$ 上由布朗运动和泊松随机测度驱动的完全非线性随机偏微分方程（SPDE）的大偏差原理（LDP）。通过利用泊松噪声和布朗运动的变分表示的弱收敛方法，作者证明了扰动解在 $D([0,T];H)$ 中的相对紧性，并确定了唯一极限，从而在原始状态空间中确认了具有跳跃型 Lévy 噪声的 SPDE 的大偏差原理。

ABSTRACT

In this paper, we establish a large deviation principle for a fully non-linear stochastic evolution equation driven by both Brownian motions and Poisson random measures on a given Hilbert space $H$. The weak convergence method plays an important role.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间 $H$ 上，为由布朗运动和泊松随机测度共同驱动的完全非线性 SPDE 建立大偏差原理（LDP）。
• 解决 SPDE 中跳跃型 Lévy 噪声的挑战，其与高斯噪声显著不同，表现为不连续性及路径不光滑。
• 在空间 $D([0,T];H)$ 中证明 SPDE 随机扰动解的相对紧性，这是应用弱收敛方法的关键。
• 应用 [5] 中的变分表示准则，直接在实际状态空间 $H$ 上推导 LDP，而非在更大的拓扑中。
• 解决在相对紧性证明中处理两个不同时间区间 $[0,t_0]$ 和 $[t_0,T]$ 时分析方法不同的技术难题。

提出的方法

• 作者采用基于泊松随机测度和布朗运动变分表示的弱收敛方法，如 [5] 所述。
• 他们考虑 SPDE (1.1) 的随机扰动，涉及缩放的布朗运动 $\sqrt{\epsilon}\beta$ 和时间变换的泊松测度 $\epsilon N^{\epsilon^{-1}\varphi_\epsilon}$。
• 通过将 $[0,T]$ 分为 $[0,t_0]$ 和 $[t_0,T]$ 两部分，对每部分使用不同的估计，证明了解族 $\mathcal{G}^\epsilon(\sqrt{\epsilon}\beta + \int \psi_\epsilon, \epsilon N^{\epsilon^{-1}\varphi_\epsilon})$ 在 $D([0,T];H)$ 中的相对紧性。
• 证明依赖于矩估计和伯克霍尔德-戴维斯-冈迪型不等式，以控制由布朗运动和补偿泊松测度的随机积分所产生的鞅项。
• 通过斯科罗霍德表示法分析扰动解的收敛性，表明极限满足与控制 $\psi$ 和强度 $\varphi$ 对应的确定性方程，从而识别出唯一的极限点。
• 将极限识别为 $\mathcal{G}^0(\int \psi(s)ds, \nu^\varphi)$，确认了极限的唯一性，并完成了 LDP 的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在原始希尔伯特空间状态空间中，为由布朗运动和泊松随机测度共同驱动的完全非线性 SPDE 建立大偏差原理？
• RQ2 当解空间不是核空间时，如何在 $D([0,T];H)$ 中证明具有跳跃噪声的 SPDE 解的相对紧性？
• RQ3 时间分割策略 $[0,t_0] \cup [t_0,T]$ 在控制随机扰动下解的正则性和收敛性中起什么作用？
• RQ4 泊松和布朗运动的变分表示如何促进弱收敛方法在跳跃型 SPDE 中的应用？
• RQ5 在什么条件下，扰动 SPDE 的极限对应于具有漂移和跳跃分量的确定性控制方程？

主要发现

• 本文在希尔伯特空间 $H$ 上为具有跳跃型 Lévy 噪声的完全非线性 SPDE 建立了大偏差原理，填补了文献中此前结果局限于加性噪声或较弱拓扑的空白。
• 通过将时间区间分割并分别对初始和后续时间区间使用不同估计，证明了扰动解族在 $D([0,T];H)$ 中的相对紧性。
• 由布朗运动和补偿泊松测度的随机积分所产生的鞅项在 $\epsilon \to 0$ 时以概率收敛于零，确保了扰动过程的收敛性。
• 扰动解的唯一极限被识别为 $\mathcal{G}^0(\int \psi(s)ds, \nu^\varphi)$，即具有漂移和跳跃分量的受控 SPDE 的解。
• 该证明确认，基于 [5] 中变分表示的弱收敛方法，可直接应用于原始状态空间 $H$，而非更大的核空间，对具有跳跃噪声的 SPDE 有效。
• 该结果将变分方法的应用范围扩展至具有广义乘性跳跃噪声的 SPDE，为非高斯环境下大偏差理论提供了稳健的框架。