[论文解读] Large deviations for the empirical measure of random polynomials: revisit of the Zeitouni-Zelditch theorem

Raphaël Butez|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文重新探討了具有 i.i.d. 高斯系数的随机多项式经验测度的大偏差原理，将 Zeitouni 和 Zelditch 原始结果从复高斯系数推广至实高斯系数。通过反球极投影将复平面紧化为球面，作者在球面上建立了推前测度的大偏差原理，并将其回传至复平面，证明在 Bernstein-Markov 条件及支撑集非薄的条件下，该原理对 Kac 多项式和椭圆多项式成立。

ABSTRACT

This article revisits the work by Ofer Zeitouni and Steve Zelditch on large deviations for the empirical measures of random orthogonal polynomials with i.i.d. Gaussian complex coefficients, and extends this result to real Gaussian coefficients. This article does not require any knowledge in geometry. For clarity, we focus on two classical cases: Kac polynomials and elliptic polynomials.

研究动机与目标

• 将随机正交多项式经验测度的大偏差原理从复高斯系数推广至实高斯系数。
• 使用紧化技术，提供一个初等且自包含的大偏差原理证明。
• 在与原始 Zeitouni-Zelditch 工作相同的假设下，建立 Kac 多项式和椭圆多项式的大偏差原理。
• 验证在新框架下速率函数保持良好定义且连续，确保上下界的有效性。

提出的方法

• 应用反球极投影将复平面映射至 2-球面，将问题转化为球面上的大偏差原理。
• 利用大偏差理论中的包含与压缩原理，将球面上的大偏差结果回传至复平面。
• 通过测度的 Bernstein-Markov 性质及支撑集的势论假设，建立大偏差上界。
• 通过在球面上速率函数的连续性（在非薄条件下），证明下界。
• 在不同次数下对归一化常数进行统一控制，以确保归一化经验测度的大偏差原理成立。
• 通过调整球面表示中的雅可比行列式与测度结构，将原始 Zeitouni-Zelditch 证明适配至实数情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有复高斯系数的随机正交多项式经验测度的大偏差原理是否可推广至实高斯系数情形？
• RQ2 反球极投影技术是否可用于证明随机多项式经验测度的大偏差原理，从而避免几何复杂性？
• RQ3 球面上的速率函数如何通过推前映射与逆映射与复平面上的速率函数相关联？
• RQ4 在何种条件下，球面上的速率函数对随机多项式的经验测度是连续且良好定义的？
• RQ5 对归一化常数的统一控制是否足以将大偏差原理从球面提升至复平面？

主要发现

• 对于实高斯系数，随机多项式经验测度的大偏差原理成立，扩展了 Zeitouni 和 Zelditch 的原始结果。
• 在推前测度支撑集在所有点均非薄的假设下，球面上的速率函数 $ I_{O, ext{S}^2} $ 是连续的。
• 通过将压缩原理应用于反球极映射，建立了大偏差原理，确保复平面上的速率函数为 $ I_O $。
• 在 $ n $ 充分大时，归一化常数 $ Z_{n,k} $ 得到统一控制，这对证明完整的大偏差原理至关重要。
• 使用球面紧化的证明技术具有鲁棒性，且在相同假设下可统一适用于 Kac 多项式和椭圆多项式。
• 速率函数 $ J_{O, ext{S}^2} $ 定义为球面上对数势减去一个权重函数的上确界，确保了适当的变分结构。