[论文解读] Large deviations for the largest eigenvalue of disordered bosons and disordered fermionic systems

Katrin Credner, Peter Eichelsbacher|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过双正交多项式系和多重正交多项式系，建立了无序玻色子和费米子系统中最大特征值的大偏离原理（LDP），证明了最大特征值以速度 $ n $ 满足LDP，通过联合特征值密度和经验测度的渐近分析推导出速率函数，将随机矩阵理论的结果扩展至具有两体相互作用和非平凡权函数的模型。

ABSTRACT

We prove a large deviations principle for the largest eigenvalue of a class of biorthogonal and multiple orthogonal polynomial ensembles that includes a matrix model of Lueck, Sommers and Zirnbauer for disordered bosons and Angelesco ensembles. Moreover we consider matrix ensembles in mesoscopic physics.

研究动机与目标

• 建立无序玻色子系统中最大特征值的大偏离原理（LDP），该系统由具有两体相互作用的随机矩阵系建模。
• 将LDP框架扩展至具有 $ n $-依赖权函数和一般 $ \beta > 0 $ 排斥力的双正交和多重正交多项式系。
• 分析中等尺度随机矩阵系中最大特征值的渐近行为，包括来自经典对称空间的系。
• 通过结合经验测度的大偏离与正交多项式谱渐近分析，推导出LDP的速率函数。
• 将先前关于高斯酉系和Lueck-Sommers-Zirnbauer模型的结果推广至更广泛的无序系统，包括非高斯极限。

提出的方法

• 作者采用具有联合密度 $ q_n(x_1,\dots,x_n) \propto \prod_{i<j} |x_i - x_j| |x_i^\theta - x_j^\theta| \prod_i w_n(x_i) $ 的一般双正交系框架，其中 $ w_n $ 可能依赖于 $ n $。
• 他们应用经验测度 $ L_n = \frac{1}{n} \sum \delta_{x_i} $ 的大偏离理论，利用 $ \bar{L}_n $ 收敛到极限测度 $ \mu_w $ 且其密度为 $ \varrho_\infty $ 的性质。
• 关键步骤是通过涉及对数势和权函数的泛函 $ \Phi(t, \mu) $ 的下确界，推导出速率函数的变分公式。
• 证明使用了对最大特征值 $ \lambda_1 $ 的条件化方法，将概率分解为 $ \lambda_1 \in [x,y] $ 和其余特征值被限制在 $ [-r,r] $ 的事件。
• 作者通过 $ \log w_n \to \log w $ 的一致收敛性和 $ \Phi $ 的连续性，建立对数概率的上下界，从而得出速度为 $ n $ 的LDP。
• 他们依赖于Borodin关于双正交多项式和Christoffel-Darboux恒等式的结果，特别是针对有理数 $ \theta $ 的情形，以分析谱测度和归一化常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \tau = n $ 的无序玻色子Lueck-Sommers-Zirnbauer模型中，最大特征值的大偏离行为是什么？
• RQ2 最大特征值的速率函数如何依赖于相互作用参数 $ \theta $ 和权函数 $ w_n $？
• RQ3 能否为具有 $ n $-依赖权函数和一般 $ \beta > 0 $ 排斥力的双正交系建立大偏离原理？
• RQ4 此类模型中经验测度的渐近结构及其与极限谱密度的关系是什么？
• RQ5 结果如何推广至多重正交多项式系和来自对称空间的中等尺度随机矩阵系？

主要发现

• 最大特征值 $ \lambda_1^* $ 满足速度为 $ n $ 的大偏离原理，速率函数为 $ J(x) = \kappa \Phi(x, \mu_w) + \xi $，其中 $ \Phi $ 是涉及对数势的变分泛函。
• 对于 $ \alpha \in \mathbb{N}_0 $、$ \tau = n $ 的无序玻色子模型，极限谱测度 $ \varrho_\infty $ 的支撑至 $ b = 3\sqrt{3} $，且 $ \lambda_1^* \to 3\sqrt{3} $ 几乎必然。
• 速率函数 $ J(x) $ 仅在 $ x \geq 3\sqrt{3} $ 时有限，而在 $ x < 3\sqrt{3} $ 时发散，表明低于边界的偏离呈指数不可能。
• 在适当的收敛假设下，通过 $ \Phi(t, \mu) = \int \log|t - y| + \log|t^\theta - y^\theta| \, d\mu(y) + \log w(t) + \int \log w(y) \, d\mu(y) $ 的下确界，推导出速率函数的精确表达式。
• 证明依赖于 $ \bar{L}_n \to \mu_w $ 的收敛性以及 $ \Phi $ 的连续性，归一化常数 $ Z_n $ 与 $ \det g $ 及范数乘积 $ h_j $ 相关。
• 该框架适用于多重正交多项式系和中等尺度系统，将先前关于GOE和GUE的结果推广至具有非高斯极限和非平凡相互作用的模型。