[论文解读] Large deviations for the two-dimensional stochastic Navier-Stokes equation with vanishing noise correlation

Sandra Cerrai, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 28

一句话总结

本文通过弱收敛方法，为二维随机纳维-斯托克斯方程在噪声相关性与噪声强度趋于零的条件下建立了大偏差原理（LDP）。结果表明，当相关长度 $\delta(\epsilon) \to 0$ 且噪声强度 $\sqrt{\epsilon} \to 0$ 时，解在 $C([0,T];H)$ 或贝索夫空间 $\mathcal{B}^\sigma_p(D)$ 中满足 LDP，且作用泛函收敛至标准形式 $I_T(f) = \frac{1}{2}\int_0^T |f'(t) - Af(t) - b(f(t))|_H^2 dt$，对应于时空白噪声极限。

ABSTRACT

We are dealing with the validity of a large deviation principle for the two-dimensional Navier-Stokes equation, with periodic boundary conditions, perturbed by a Gaussian random forcing. We are here interested in the regime where both the strength of the noise and its correlation are vanishing, on a length scale $\\e$ and $\\d(\\e)$, respectively, with $0<\\e,\\ \\d(\\e)<<1$. Depending on the relationship between $\\e$ and $\\d(\\e)$ we will prove the validity of the large deviation principle in different functional spaces.

研究动机与目标

• 分析二维随机纳维-斯托克斯方程在弱空间相关噪声下的大偏差行为。
• 研究当噪声强度 $\sqrt{\epsilon}$ 与相关长度 $\delta(\epsilon)$ 沿着 $\epsilon \to 0$ 同时趋于零的极限情形。
• 确定在 $\epsilon$ 与 $\delta(\epsilon)$ 之间不同标度关系下，大偏差原理在哪些函数空间中成立。
• 证明尽管噪声结构非白噪声，其极限作用泛函仍与时空白噪声所预期的标准形式一致。

提出的方法

• 采用 SPDE 大偏差的弱收敛方法，如文献 [6] 所形式化，推导解族 $\{u_{\epsilon,\delta(\epsilon)}\}_{\epsilon>0}$ 的 LDP。
• 将噪声建模为 $\sqrt{\epsilon} \partial_t \xi^\delta$，其中 $\xi^\delta$ 为具有相关尺度 $\delta(\epsilon)$ 的空间光滑高斯过程。
• 应用压缩原理与解映射的连续性，将 LDP 从噪声空间转移到解空间。
• 分析作用泛函 $I_T^\delta(f)$ 在 $\delta(\epsilon) \to 0$ 时收敛至标准形式 $I_T(f)$ 的条件，即 $\epsilon \delta(\epsilon)^{-\eta} \to 0$ 对某个 $\eta > 0$ 成立。
• 在贝索夫与索伯列夫型空间（特别是 $H^\sigma(D)$ 对 $\sigma < 0$）中运用随机分析，以控制噪声与解路径的正则性。
• 利用重正则化混沌项的收敛性，以及 $h_\delta \otimes h_\delta - \vartheta_\delta I$ 在 $L^\kappa(\mathcal{H}, \mu; [H^\sigma(D)]^4)$ 中的极限，来证明极限作用泛函的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\epsilon$ 与 $\delta(\epsilon)$ 的标度关系下，二维随机纳维-斯托克斯方程的解在 $C([0,T];H)$ 中满足大偏差原理？
• RQ2 当 $\delta(\epsilon) \to 0$ 时，解的极限作用泛函是否收敛至标准形式 $I_T(f) = \frac{1}{2}\int_0^T |f'(t) - Af(t) - b(f(t))|_H^2 dt$？
• RQ3 当 $\delta(\epsilon)$ 的衰减速率慢于 $\epsilon^{\eta}$（$\eta > 0$）时，大偏差原理在哪些函数空间中成立？
• RQ4 即使噪声非时空白噪声，弱收敛方法是否仍可用于推导噪声相关性与强度趋于零情形下的 LDP？
• RQ5 重正化噪声的二次变差在作用泛函收敛性中起何种作用？

主要发现

• 当 $\epsilon \delta(\epsilon)^{-\eta} \to 0$ 对某个 $\eta > 0$ 成立时，族 $\{u_{\epsilon,\delta(\epsilon)}\}_{\epsilon>0}$ 在 $C([0,T];H)$ 中满足大偏差原理，速率参数为 $\epsilon$，作用泛函为 $I_T(f)$。
• 在 $\delta(\epsilon)$ 衰减慢于 $\epsilon^{\eta}$ 的情形下，LDP 在贝索夫空间 $C([0,T];\mathcal{B}^\sigma_p(D))$ 中对 $\sigma < 0$ 且 $p \geq 2$ 成立，且极限作用泛函仍为 $I_T(f)$。
• 尽管噪声在空间上非白噪声，极限作用泛函 $I_T(f)$ 仍与时空白噪声所预期的标准形式一致。
• 噪声协方差算子 $Q_\delta$ 强算子拓扑收敛至恒等算子，确保了作用泛函 $I_T^\delta$ 的逐点收敛至 $I_T$。
• 重正化项 $h_\delta \otimes h_\delta - \vartheta_\delta I$ 在 $L^\kappa(\mathcal{H}, \mu; [H^\sigma(D)]^4)$ 中收敛（$\sigma < 0$），从而为极限作用泛函提供了合理性依据。
• 解映射在 $C([0,T];\mathcal{B}^\sigma_p(D))$ 的拓扑下连续，使得压缩原理可应用于该空间，从而推导出该空间中的 LDP。