[论文解读] Large deviations of multichordal SLE$_{0+}$, real rational functions, and zeta-regularized determinants of Laplacians

Eveliina Peltola, Yilin Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 78被引用 6

一句话总结

本文通过豪斯多夫度量，为多弦SLE$_{0+}$曲线建立了强有力的大型偏差原理（LDP），引入了一种与黎曼ζ-正则化拉普拉斯算子行列式相关的Loewner势能。证明了该势能的极小化子即为实有理函数的零点轨迹，从而证实了Shapiro猜想，并将共形场论的半经典极限与SLE几何联系起来。

ABSTRACT

We prove a strong large deviation principle (LDP) for multiple chordal SLE$_{0+}$ curves with respect to the Hausdorff metric. In the single-chord case, this result strengthens an earlier partial result by the second author. We also introduce a Loewner potential, which in the smooth case has a simple expression in terms of zeta-regularized determinants of Laplacians. This potential differs from the LDP rate function by an additive constant depending only on the boundary data, that satisfies PDEs arising as a semiclassical limit of the Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equations of level two in conformal field theory with central charge $c o -\infty$. Furthermore, we show that every multichord minimizing the potential in the upper half-plane for given boundary data is the real locus of a rational function and is unique, thus coinciding with the $κ o 0+$ limit of the multiple SLE$_κ$. As a by-product, we provide an analytic proof of the Shapiro conjecture in real enumerative geometry, first proved by Eremenko and Gabrielov: if all critical points of a rational function are real, then the function is real up to post-composition by a Möbius transformation.

研究动机与目标

• 通过豪斯多夫度量，为多弦SLE$_{0+}$建立强有力的大型偏差原理（LDP）。
• 定义并分析一种与Loewner能量相差一个依赖边界的常数的Loewner势能。
• 在光滑情形下，将Loewner势能与拉普拉斯算子的ζ-正则化行列式联系起来。
• 证明上半平面上该势能的极小化子为有理函数的实零点轨迹，且由边界数据唯一确定。
• 证明实枚举几何中的Shapiro猜想：若一个有理函数的所有临界点均为实数，则该函数在莫比乌斯变换下为实有理函数。

提出的方法

• 通过环测度与布朗运动环测度正则化，引入多弦Loewner势能。
• 将Loewner能量定义为LDP中的速率函数，其中势能与Loewner能量相差一个依赖边界的常数。
• 利用谱几何与热核渐近展开，将势能表达为拉普拉斯算子的ζ-正则化行列式。
• 推导共形场论中中心电荷$c \to -\infty$时BPZ方程的半经典极限，表明该势能满足这些偏微分方程。
• 利用Loewner微分方程，将极小化子表征为上半平面上有理函数的实零点轨迹。
• 应用变分法与热核展开，将zeta函数的导数与曲率及边界项联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在豪斯多夫度量下，多弦SLE$_{0+}$的大型偏差速率函数是什么？
• RQ2 在光滑情形下，Loewner势能如何与拉普拉斯算子的ζ-正则化行列式相关联？
• RQ3 在共形场论的半经典极限下，最小势能满足何种偏微分方程？
• RQ4 上半平面上所有Loewner势能的极小化子是否均为有理函数的实零点轨迹？
• RQ5 若一个有理函数的所有临界点均为实数，是否意味着该函数在莫比乌斯变换下为实有理函数？

主要发现

• 为多弦SLE$_{0+}$建立了强有力的大型偏差原理，其中Loewner能量为速率函数。
• 证明Loewner势能等于拉普拉斯算子的ζ-正则化行列式，至多相差一个依赖边界的常数。
• 最小势能满足一组半经典零态PDE，其为BPZ方程在$c \to -\infty$极限下的结果。
• 在给定边界数据下，上半平面中该势能的每个极小化子均为有理函数的实零点轨迹，且唯一。
• 通过分析方法证明了Shapiro猜想：若一个有理函数的所有临界点均为实数，则该函数在莫比乌斯变换下为实有理函数。
• 通过热核渐近展开计算了Loewner势能的变分，得到了一个包含曲率、边界测地曲率及锥奇点的公式。