[论文解读] Large entropy measures for endomorphisms of CP(k)

Christophe Dupont|ArXiv.org|Nov 24, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 6

一句话总结

该论文利用编码技术与符号动力系统中的吉布斯测度，为复射影空间 $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 上的全纯自同态构造了一类遍历不变测度。证明了这些测度的度量熵接近 $\log d^k$，具有正的李雅普诺夫指数、相关系数的指数衰减，以及几乎必然不变性原理，其支集位于朱利亚集内，且相对于最大熵测度是奇异的。

ABSTRACT

Let $f$ be an holomorphic endomorphism of $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$. We construct by using coding techniques a class of ergodic measures as limits of non-uniform probability measures on preimages of points. We show that they have large metric entropy, close to $\log d^k$. We establish for them strong stochastic properties and prove the positivity of their Lyapunov exponents. Since they have large entropy, those measures are supported in the support of the maximal entropy measure of $f$. They in particular provide lower bounds for the Hausdorff dimension of the Julia set.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 上的全洁自同态构造一类具有大度量熵的遍历不变测度。
• 为这些测度建立强随机性质，如相关系数的指数衰减与几乎必然不变性原理。
• 证明所构造的测度具有正的李雅普诺夫指数，并相对于最大熵测度 $\mu$ 是奇异的。
• 证明这些测度的支集位于朱利亚集 $\mathcal{J} = \mathrm{supp}\,\mu$ 内，并由此提供其豪斯多夫维数的下界。
• 将 $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ 上的编码技术扩展至高维复射影空间，以处理具有大熵的动力系统。

提出的方法

• 在全移位空间 $\Sigma = \{1, \ldots, d^k\}^{\mathbb{N}}$ 上使用符号动力系统，以模拟全纯自同态的逆像结构。
• 应用与霍尔德势 $\varphi$ 相关的吉布斯测度 $\nu_\varphi$，其中 $\varphi$ 满足 $\tau_\theta(\varphi) > 0$ 对于小的 $\theta$。
• 为泛用 $z \notin \mathcal{F}_\theta$（一个零体积的例外集合）构造相容的双射 $z_n: \mathcal{A}^n \to f^{-n}(z)$。
• 通过 $z_n$ 将吉布斯测度 $\nu_\varphi$ 的前推，得到在逆像 $f^{-n}(z)$ 上的有限测度 $\nu_n$，其弱收敛于 $f$-不变测度 $\nu$。
• 利用向后图变换与局部坐标中的压缩论证，确保在动力系统下不变流形的存在性与正则性。
• 依赖于压强与熵估计，特别是 $h_{\nu_\varphi}(s) > \log d^{k-\theta}$，以保证极限测度 $\nu$ 的大度量熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将编码技术扩展至 $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 上的全纯自同态，以构造具有大度量熵的遍历测度？
• RQ2 这些构造的测度是否表现出强随机性质，如相关系数的指数衰减与几乎必然不变性原理？
• RQ3 这些测度与最大熵测度 $\mu$ 在支集与奇异性方面有何关系？
• RQ4 这些测度的李雅普诺夫指数与最大熵测度的指数相比如何？
• RQ5 这些测度在豪斯多夫维数下界估计中起到多大作用？

主要发现

• 所构造的测度 $\nu$ 的度量熵满足 $h_\nu(f) = h_{\nu_\varphi}(s) > \log d^{k-\theta}$，当 $\theta \to 0$ 时趋近于拓扑熵 $\log d^k$。
• 测度 $\nu$ 对于霍尔德可观测量满足几乎必然不变性原理，意味着中心极限定理与迭代对数定律成立。
• $\nu$ 的李雅普诺夫指数下界为 $\frac{1}{2}(h_\nu(f) - \log d^{k-1}) > 0$，确认其为正。
• $\nu$ 的支集包含于朱利亚集 $\mathcal{J} = \mathrm{supp}\,\mu$ 内，且由于 $h_\nu(f) < \log d^k$（除非 $\nu_\varphi$ 在 $\Sigma$ 上为最大熵），故 $\nu$ 相对于 $\mu$ 是奇异的。
• 对于权重满足 $w_\alpha \leq d^{-k+\eta}$ 的乘积型吉布斯测度，构造可得到一个混合的 $f$-不变测度 $\nu$，其熵满足 $h_\nu(f) > \log d^{k-\eta}$。
• $\mathcal{F}_\theta$ 为构造失败的点 $z$ 的例外集合，其体积为零，确保结果对泛用 $z$ 成立。