[论文解读] Large Fourier coefficients of half-integer weight modular forms

Sanoli Gun, Winfried Kohnen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了在正空间中，任意非零的半整数权尖形式的傅里叶系数在基本判别式 |D| 上有无穷多个非零值，并进一步表明这些系数的大小出人意料地大——其增长速度达到 √(log |D| / log log |D|) 的指数级，这是通过一种改进的共振方法实现的，该方法能隔离单个 L-函数，同时抑制其他 L-函数的干扰。

ABSTRACT

This article is concerned with the Fourier coefficients of cusp forms (not necessarily eigenforms) of half-integer weight lying in the plus space. We give a soft proof that there are infinitely many fundamental discriminants $D$ such that the Fourier coefficients evaluated at $|D|$ are non-zero. By adapting the resonance method, we also demonstrate that such Fourier coefficients must take quite large values.

研究动机与目标

• 证明对于任意非零尖形式，其在正空间中半整数权下，存在无穷多个满足 (−1)^k D > 0 的基本判别式 D，使得傅里叶系数 c(|D|) 非零。
• 展示某些基本判别式 D 的傅里叶系数 c(|D|) 可以远超标准界限所预测的大小。
• 将共振方法推广至与赫cke特征形式相关的 L-函数的线性组合，确保某一 L-函数可被放大，而其他 L-函数的贡献保持微小。
• 提供一种非基于瓦尔德斯普格公式的软性证明，以补充现有依赖于瓦尔德斯普格公式的结果。

提出的方法

• 构建一个新的狄利克雷级数，其由傅里叶系数 c(|D|) 和与 χ_D 相关的狄利克雷 L-函数组成，从而提供一种不依赖瓦尔德斯普格公式的定性、软性非零性证明。
• 将共振方法适配到半整数权模形式的框架中，使用精心选择的共振多项式来放大特定 L-值，同时最小化其他 L-函数的干扰。
• 运用部分求和与朗金-塞尔伯格估计来控制误差项，并推导出加权平均值 L(f_ν, χ_D, k) |R(D)|² 的渐近公式。
• 利用素数定理和对乘法系数的估计，控制共振构造中对素数的乘积，确保主项占主导地位。
• 引入一个在 [1,2] 或 [1/2,5/2] 上有紧支集的权函数 Φ(t)，以在 dyadic 区间内局部化对判别式 D 的求和，从而精确控制 L-值的平均大小。
• 应用赫cke特征形式理论与志村对应，将 c(|D|) 与中心 L-值 L(f, χ_D, k) 关联起来，从而可在 L-函数上使用解析数论工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多个满足 (−1)^k D > 0 的基本判别式 D，使得 S_{k+1/2}^+ 中任意非零尖形式 g 的傅里叶系数 c(|D|) 非零？
• RQ2 共振方法能否被调整，以证明不同赫cke特征形式相关的 L-值线性组合可被放大，即使这些 L-函数之间无相关性？
• RQ3 对于基本判别式 D，傅里叶系数 |c(|D|)| 的最大可能大小是多少？其与 Ramanujan-Petersson 猜想所预测的大小相比如何？
• RQ4 是否可以在不假设 g 是赫cke特征形式的前提下，通过利用特征形式线性组合及其相关 L-函数的结构，使 |c(|D|)| 达到较大值？

主要发现

• 对于任意非零 g ∈ S_{k+1/2}^+，存在无穷多个满足 (−1)^k D > 0 的基本判别式 D，使得 c(|D|) ≠ 0。
• 对于任意 ε > 0 和足够大的 X，存在至少 X^{1−ε} 个基本判别式 D 属于 (X, 2X]，使得 |c(|D|)| ≥ |D|^{k/2 − 1/4} exp( (1/82) √(log |D| / log log |D|) )。
• 共振方法成功地隔离了单个 L-函数 f_ν 的贡献，同时使其他 f_ν（ν > 1）的贡献可忽略不计，从而实现了对 L(f_ν, χ_D, k) 的无干扰放大。
• 在 L(f_ν, χ_D, k)|R(D)|² 的平均值中，主项大小为 X · R，其中 R 是 [L², L⁴] 内素数的乘积，且当 ν = 1 时，该乘积的增长速度为 exp( (1/2 + o(1)) L / log L )。
• 对于 ν > 1，L(f_ν, χ_D, k)|R(D)|² 的和被控制在 O(X) 内，表明共振未放大不希望的 L-函数。
• 所导出的 |c(|D|)| 的下界与林德洛夫假设下的预期数量级一致，且与更强的 L-函数增长猜想一致，表明该下界几乎是最优的。