[论文解读] Large gaps between consecutive prime numbers

Kevin Ford, Ben Green+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 16

一句话总结

本文通过证明小于 $ X $ 的连续素数之间的最大间隔 $ G(X) $ 满足 $ G(X) \geqslant f(X) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $，解决了 Erdős 长期以来的猜想，其中 $ f(X) \to \infty $ 当 $ X \to \infty $。证明结合了覆盖区间的随机算术级数构造与近期关于长素数等差级数的结果，建立了超出素数定理预测的平均间隔的更大素数间隔。

ABSTRACT

Let $G(X)$ denote the size of the largest gap between consecutive primes below $X$. Answering a question of Erdos, we show that $$G(X) \geq f(X) \frac{\log X \log \log X \log \log \log \log X}{(\log \log \log X)^2},$$ where $f(X)$ is a function tending to infinity with $X$. Our proof combines existing arguments with a random construction covering a set of primes by arithmetic progressions. As such, we rely on recent work on the existence and distribution of long arithmetic progressions consisting entirely of primes.

研究动机与目标

• 解决 Paul Erdős 提出的猜想，即小于 $ X $ 的连续素数之间的最大间隔 $ G(X) $ 可以超过任何常数倍的平均间隔 $ \sim \log X $。
• 建立 $ G(X) $ 的定量下界，其增长速度超过 $ \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 的任意固定倍数，其中函数 $ f(X) \to \infty $。
• 证明 Rankin 不等式 $ G(X) \geqslant (c+o(1)) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 中的常数 $ c $ 可以任意大，从而优于所有先前结果。
• 提出一种新方法，结合概率构造与长素数等差级数的结果，实现此改进。

提出的方法

• 构造模小素数 $ p \leq x $ 的剩余类集合，使其共同覆盖区间 $[1, y]$，并将 $ Y(x) $ 定义为满足此条件的最大 $ y $。
• 利用中国剩余定理构造一个数 $ m $，使得对某个 $ p \leq x $，有 $ m + t \equiv 0 \pmod{p} $，从而确保 $ m + t $ 在 $ 1 \leq t \leq y $ 时为合数。
• 采用随机构造方法选择覆盖 $[1, y]$ 的剩余类，依赖概率估计以高概率确保覆盖。
• 利用近期关于存在完全由素数组成的长等差级数的结果，确保覆盖系统中所需的结构。
• 使用修改后的 von Mangoldt 型函数 $ \tilde{\nu} $ 及其平移变体，以在随机构造下建模算术级数中素数的分布。
• 通过 Gowers 一致范数建立相关性和一致范数，以控制筛法分析中的误差项，确保构造出的区间确实被小素数因子覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rankin 对 $ G(X) $ 的下界中常数 $ c $ 能否如 Erdős 所猜想的那样任意大？
• RQ2 是否可以构造出长度超过 $ \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 的任意固定倍数的、小于 $ X $ 的连续合数序列？
• RQ3 能否通过模小素数的剩余类的随机构造实现如此大的间隔，且依赖于长素数等差级数的存在性？
• RQ4 当将概率覆盖方法与长素数等差级数的结果结合时，$ G(X) $ 的下界在数量上有何改进？

主要发现

• 本文证明了存在某个满足 $ f(X) \to \infty $ 当 $ X \to \infty $ 的函数 $ f(X) $，使得 $ G(X) \geqslant f(X) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $，从而确认了 Erdős 的猜想。
• 该下界优于所有先前结果，包括 Rankin、Schönhage 和 Pintz 的结果，通过使下界中的常数 $ c $ 任意大而实现改进。
• 证明依赖于一种新颖的剩余类随机构造，该构造覆盖区间 $[1, y]$，其中 $ y = Y(x) $，并利用中国剩余定理生成大小为 $ y $ 的间隔。
• 该方法依赖于近期关于长素数等差级数的存在性与分布的进展，这些进展对构造的成功至关重要。
• 作者表明，该下界在某种意义上是紧的，因为它超过任何固定倍数的平均间隔，且增长速率与 Cramér 的概率模型一致，尽管仍未达到猜想中的 $ \log^2 X $ 行为。
• 该结果由 Maynard 独立地通过筛法方法确认，且后续研究证明两种方法可结合以实现进一步改进。