[论文解读] Large genus asymptotics for lengths of separating closed geodesics on random surfaces

Xin Nie, Yunhui Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文研究了在大亏格 $g$ 的随机双曲曲面上，关于 Weil-Petersson 测度的分离长度函数及其相关几何量的渐近行为。结果表明，当 $g \to \infty$ 时，典型曲面的分离长度函数长度约为 $2\log g - 4\log\log g$，其上存在宽度为 $\frac{1}{2}\log g - \frac{3}{2}\log\log g$ 的半螺线带，且最短的分离闭合多测地线长度也满足 $\sim 2\log g$，概率趋于 1。这些结果深化了对高亏格双曲几何中极值几何不变量的理解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate basic geometric quantities of a random hyperbolic surface of genus $g$ with respect to the Weil-Petersson measure on the moduli space $\mathcal{M}_g$. We show that as $g$ goes to infinity, a generic surface $X\in \mathcal{M}_g$ satisfies asymptotically: (1) the separating systole of $X$ is about $2\log g$; (2) there is a half-collar of width about $\frac{\log g}{2}$ around a separating systolic curve of $X$; (3) the length of shortest separating closed multi-geodesics of $X$ is about $2\log g$. As applications, we also discuss the asymptotic behavior of the extremal separating systole, the non-simple systole and the expectation value of lengths of shortest separating closed multi-geodesics as $g$ goes to infinity.

研究动机与目标

• 确定当 $g \to \infty$ 时，随机双曲曲面在亏格 $g$ 下的分离长度函数的渐近行为。
• 分析在 Weil-Petersson 随机模型中，围绕分离长度函数曲线的半螺线带的存在性及其宽度。
• 研究最短分离闭合多测地线的长度及其在高亏格下的拓扑类型。
• 建立分离长度函数的期望值，并将其与极值几何不变量的渐近分布联系起来。
• 将长度函数几何理论推广至分离曲线与多测地线，解决随机曲面理论中的开放问题。

提出的方法

• 利用 Mirzakhani 的体积渐近公式与 Weil-Petersson 测度，分析 $\mathcal{M}_g$ 上几何不变量的统计行为。
• 应用螺线带引理与双曲几何方法，界定围绕分离测地线的半螺线带宽度。
• 构造一个加厚集合 $\mathcal{B}(\omega(g))$，使得分离长度函数在 $2\log g - 4\log\log g \pm \omega(g)$ 附近高度集中。
• 使用概率集中性论证，证明满足渐近界条件的概率随 $g \to \infty$ 趋于 1。
• 借助 [PWX21] 中关于期望长度函数的结果，推导出 $\mathbb{E}_{\rm WP}^g[\mathcal{L}_1] \sim 2\log g$ 的界。
• 将问题约化为计数边界为单孔环面或三孔球面的多测地线，其期望计数为 $\sim \frac{L^2 e^{L/2}}{g}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g \to \infty$ 时，随机双曲曲面上最短分离简单闭合测地线的渐近长度是多少？
• RQ2 典型随机曲面是否在分离长度函数周围存在宽度 $\sim \frac{1}{2}\log g$ 的半螺线带？
• RQ3 典型曲面上最短分离闭合多测地线是否在拓扑上等价于分离长度函数，即是否割开一个单孔环面？
• RQ4 当 $g \to \infty$ 时，最短分离闭合多测地线的期望长度的渐近行为如何？
• RQ5 对于固定的 $m$，$m$-阶几何 H 量在 $\mathcal{M}_g$ 上的渐近行为如何，当 $g \to \infty$ 时？

主要发现

• 当 $g \to \infty$ 时，典型曲面 $X \in \mathcal{M}_g$ 的分离长度函数 $\ell_{\rm sys}^{\rm sep}(X)$ 满足 $|\ell_{\rm sys}^{\rm sep}(X) - (2\log g - 4\log\log g)| \leq \omega(g)$，其中 $\omega(g) \to \infty$ 且 $\omega(g)/\log\log g \to 0$，该概率趋于 1。
• 以高概率，分离长度函数割开一个单孔环面 $S_{1,1}$，确认其在典型曲面上的拓扑类型。
• 典型曲面在 $S_{g-1,1}$ 分量中，其分离长度函数曲线周围存在宽度为 $\frac{1}{2}\log g - \left(\frac{3}{2} + \epsilon\right)\log\log g$ 的半螺线带。
• 最短分离闭合多测地线 $\mathcal{L}_1(X)$ 的长度满足 $|\mathcal{L}_1(X) - (2\log g - 4\log\log g)| \leq \omega(g)$，当 $g \to \infty$ 时，该概率趋于 1。
• 期望长度 $\mathbb{E}_{\rm WP}^g[\mathcal{L}_1]$ 的渐近行为类似于 $2\log g$，验证了 [PWX21] 中的猜想。
• 第一阶几何 H 量 $H_1(X)$ 满足 $\left(1 - \epsilon\right)\frac{\log g}{\pi} < H_1(X) < \frac{\log g}{\pi}$，当 $g \to \infty$ 时，该概率趋于 1。