[论文解读] Large girth graphs with bounded diameter-by-girth ratio

Goulnara Arzhantseva, Arindam Biswas|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 32被引用 8

一句话总结

该论文通过 $SL_n(\mathbb{Z})$ 的自由子群及其模素数约化，构造了具有任意大围长且直径与围长之比有界的 4-正则有限图的显式族。由这些矩阵生成的 $SL_n(\mathbb{F}_p)$ 的凯莱图具有围长 $\geq c_n\log p$ 和直径 $O(\log p)$，从而在所有维度 $n \geq 2$ 中首次实现了具有有界直径-围长比的显式膨胀图。

ABSTRACT

We provide an explicit construction of finite 4-regular graphs $(\Gamma_k)_{k\in \mathbb N}$ with ${ ext{girth}\, \Gamma_k o\infty}$ as $k o\infty$ and $\frac{ ext{diam}\, \Gamma_k}{ ext{girth}\,\Gamma_k}\leqslant D$ for some $D>0$ and all $k\in\mathbb{N}$. For each dimension $n\geqslant 2,$ we find a pair of matrices in $SL_{n}(\mathbb{Z})$ such that (i) they generate a free subgroup, (ii)~their reductions $\bmod\, p$ generate $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ for all sufficiently large primes $p$, (iii) the corresponding Cayley graphs of $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ have girth at least $c_n\log p$ for some $c_n>0$. Relying on growth results (with no use of expansion properties of the involved graphs), we observe that the diameter of those Cayley graphs is at most $O(\log p)$. This gives infinite sequences of finite $4$-regular Cayley graphs as in the title. These are the first explicit examples in all dimensions $n\geqslant 2$ (all prior examples were in $n=2$). Moreover, they happen to be expanders. Together with Margulis' and Lubotzky-Phillips-Sarnak's classical constructions, these new graphs are the only known explicit large girth Cayley graph expanders with bounded diameter-by-girth ratio.

研究动机与目标

• 构造具有任意大围长且直径-围长比有界的 4-正则有限图的显式族。
• 将已知的大围长凯莱图膨胀图构造方法从维度 $n=2$ 扩展至所有 $n \geq 2$。
• 提供一种依赖于群增长性质而非膨胀性质的方法，确保直径-围长比有界。

提出的方法

• 对每个 $n \geq 2$，在 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中构造一对生成自由子群的矩阵。
• 确保这些矩阵在所有足够大的素数 $p$ 下的约化能生成 $SL_n(\mathbb{F}_p)$。
• 利用群的增长性质，将所得凯莱图的直径以 $O(\log p)$ 为界。
• 建立凯莱图围长的下界 $c_n\log p$（其中 $c_n > 0$，且与 $p$ 无关）。
• 结合这些界，证明对所有 $k$，比值 $\frac{\text{diam}\, \Gamma_k}{\text{girth}\, \Gamma_k}$ 均有统一有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在所有维度 $n \geq 2$ 中构造具有有界直径-围长比的显式 4-正则凯莱图膨胀图？
• RQ2 是否存在 $SL_n(\mathbb{Z})$ 的自由子群，使其模所有大素数 $p$ 后能生成 $SL_n(\mathbb{F}_p)$？
• RQ3 能否仅通过增长论证，而不依赖膨胀性质，将 $SL_n(\mathbb{F}_p)$ 凯莱图的直径以 $O(\log p)$ 为界？
• RQ4 在保持直径-围长比有界的同时，能否在这些凯莱图中实现 $\geq c_n\log p$ 的围长？
• RQ5 在经典 $n=2$ 情况之外，能否实现具有有界直径-围长比的大围长膨胀图的显式构造？

主要发现

• 所构造的图 $\Gamma_k$ 是 4-正则的，且当 $k \to \infty$ 时围长趋于无穷，满足 $\text{girth}\, \Gamma_k \to \infty$。
• $\Gamma_k$ 的直径-围长比对所有 $k \in \mathbb{N}$ 均被常数 $D > 0$ 一致有界，确保了增长效率的有界性。
• 对每个 $n \geq 2$，存在 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中的一对矩阵，其生成的自由子群在模所有大素数 $p$ 后能生成 $SL_n(\mathbb{F}_p)$。
• 基于这些矩阵的 $SL_n(\mathbb{F}_p)$ 凯莱图的围长至少为 $c_n\log p$（其中 $c_n > 0$，且与 $p$ 无关）。
• 这些凯莱图的直径至多为 $O(\log p)$，其界由群的增长性质得出，无需假设膨胀性质。
• 这些图是所有维度 $n \geq 2$ 中首次实现的大围长凯莱图膨胀图显式例子，且具有有界直径-围长比，同时是膨胀图。