[论文解读] Large global solutions for energy supercritical nonlinear wave equations on \R^{3+1}

Joachim Krieger, Wilhelm Schlag|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用 18

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^{3+1}$ 上构造了能量超临界非线性波动方程 $\Box u = \pm u^7$ 的全局光滑 $C^\infty$-正则解，其 $\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}$ 范数为无穷大，通过正则化在光锥上奇点的自相似解实现。这些解在小扰动下保持稳定，且在耗散情形下，可在单位球外部构造出任意大振幅的解。

ABSTRACT

For the radial energy-supercritical nonlinear wave equation $$\Box u = -u_{tt} + riangle u = \pm u^7$$ on $\R^{3+1}$, we prove the existence of a class of global in forward time $C^\infty$-smooth solutions with infinite critical Sobolev norm $\dot{H}^{\frac{7}{6}}(\R^3) imes \dot{H}^{\f16}(\R^3)$. Moreover, these solutions are stable under suitably small perturbations . We also show that for the {\em defocussing} energy supercritical wave equation, we can construct such solutions which moreover satisfy the size condition $\|u(0, \cdot)\|_{L_x^\infty(|x|\geq 1)}>M$ for arbitrarily prescribed $M>0$. These solutions are stable under suitably small perturbations. Our method proceeds by regularization of self-similar solutions which are smooth away from the light-cone but singular on the light-cone. The argument crucially depends on the supercritical nature of the equation. Our approach should be seen as part of the program initiated in \cite{KrSchTat1}, \cite{KrSchTat2}, \cite{DoKri}.

研究动机与目标

• 建立能量超临界波动方程 $\Box u = \pm u^7$ 在 $\mathbb{R}^{3+1}$ 上全局光滑解的存在性，其临界 Sobolev 范数为无穷大。
• 证明此类解在适当小的扰动下保持稳定。
• 在耗散情形下构造解，使其在 $\{|x| \geq 1\}$ 上的 $L^\infty$ 范数可任意大，表明远离原点处具有强非线性。
• 通过方程的超临界性质，将构造大解的程序拓展至微扰理论之外的区域。
• 提供标准 Strichartz 基小初值理论不适用范围外的非微扰解构造。

提出的方法

• 对在光锥外光滑但在光锥上奇点的自相似解进行正则化。
• 基于自由波动传播算子 $S(t)$ 的迭代方案，求解扰动方程 $-v_{tt} + \Delta v = \mp 7u^6 v^{(j-1)} - \cdots - (v^{(j-1)})^7 + e_i$。
• 在临界空间 $L^6_t L^{18}_x \cap L^\infty_t \dot{H}^{7/6}$ 上应用 Strichartz 估计，以控制迭代序列。
• 运用分数阶乘积法则与 Sobolev 嵌入估计，以有界涉及 $u^k (v^{(j-1)})^{7-k}$ 的非线性项。
• 在时间区间 $[T, T+\kappa]$ 上进行处理，其中 $\kappa$ 依赖于 $\|u\|_{L^{18}_x}$ 和 $\||\nabla|^{1/6}u\|_{L^9_x}$ 的大小，以应对大初值。
• 通过归纳法建立先验估计，并证明迭代序列在所需函数空间中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能量超临界波动方程 $\Box u = \pm u^7$ 在 $\mathbb{R}^{3+1}$ 上是否存在全局光滑解，且其 $\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}$ 范数为无穷大？
• RQ2 尽管临界范数极大，此类解是否在小扰动下仍保持稳定？
• RQ3 在耗散情形下，即使初值光滑且衰减，方程是否仍能产生在 $\{|x| \geq 1\}$ 上振幅任意大的解？
• RQ4 鉴于标准小初值 Strichartz 理论不适用，如何实现此类解的非微扰构造？
• RQ5 方程的超临界性质在促成此类大解存在性方面起到何种作用？

主要发现

• 本文构造了 $\mathbb{R}^{3+1}$ 上 $\Box u = \pm u^7$ 的全局 $C^\infty$-光滑解，满足 $\|(f,g)\|_{\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}} = \infty$，且对所有 $s > 7/6$ 有 $\|(f,g)\|_{\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}} < \infty$。
• 这些解在适当小扰动下保持稳定，通过在 $L^6_t L^{18}_x \cap L^\infty_t \dot{H}^{7/6}$ 空间中迭代方案的收敛性得以证明。
• 在耗散情形下，对任意给定的 $M > 0$，存在解满足 $\|u(0,\cdot)\|_{L^\infty(|x|\geq 1)} > M$，表明其空间振幅可任意大。
• 该构造关键依赖于方程的超临界性质，使得即使临界范数为无穷大，解仍能存在。
• 迭代方法在区间 $[T, T+\kappa]$ 上于 $L^6_t L^{18}_x \cap L^\infty_t \dot{H}^{7/6}$ 中收敛，其中 $\kappa$ 依赖于 $u$ 的大小，确保即使 $u$ 不小也能实现控制。
• 通过对方程求导，建立了高阶导数的有界性，从而确认最终解的 $C^\infty$-光滑性。