[论文解读] Large groups, Property (tau) and the homology growth of subgroups

Marc Lackenby|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

该论文为有限生成群建立了二分法：要么它们是大群（即存在一个到非交换自由群的有限指数子群的满射），要么它们关于嵌套的正规p-子群序列具有性质(τ)，且其模p同调增长呈线性。关键结果通过线性同调增长与性质(τ)的缺失来刻画大群，借助p-进完备化和模p系数的Mayer-Vietoris正合列，将群论性质与同调及谱行为联系起来。

ABSTRACT

We investigate the homology of finite index subgroups G_i of a given finitely presented group G. Specifically, we examine d_p(G_i), which is the dimension of the first homology of G_i, with mod p coefficients. We say that a collection of finite index subgroups {G_i} has linear growth of mod p homology if the infimum of d_p(G_i)/[G:G_i] is positive. We show that if this holds and each G_i is normal in its predecessor and has index a power of p, then one of the following possibilities must be true: G is large (that is, some finite index subgroup admits a surjective homomorphism onto a non-abelian free group) or G has Property (tau) with respect to {G_i}. The arguments are based on the geometry and topology of finite 2-complexes. This has several consequences. It implies that if the pro-p completion of a finitely presented group G has exponential subgroup growth, then G has Property (tau) with respect to some nested sequence of finite index subgroups. It also has applications to low-dimensional topology. We use it to prove that a group-theoretic conjecture of Lubotzky-Zelmanov would imply the following: any lattice in PSL(2,C) with torsion is large. We also relate linear growth of mod p homology to the existence of certain important error-correcting codes: those that are `asymptotically good', which means that they have large rate and large Hamming distance.

研究动机与目标

• 通过嵌套的正规p-子群序列中的模p同调线性增长来刻画大群。
• 为这类序列建立大群与性质(τ)之间的二分法。
• 将同调增长与p-进完备化及有限生成群的子群增长联系起来。
• 将结果应用于PSL(2,C)中的格，特别是与GS-τ猜想的关系。
• 提供其p-进完备化中具有指数子群增长的群的刻画。

提出的方法

• 使用具有p-幂指数的有限指数正规子群嵌套序列来分析同调增长。
• 应用模p系数的Mayer-Vietoris定理，以替代先前工作中使用的Seifert-van Kampen论证。
• 引入模p同调梯度 λ = inf (d_p(G_i) - 1)/[G:G_i] 以量化线性增长。
• 依赖于指数为p^n的子正规子群与p-进完备化 G^(p) 的子群之间的一一对应关系。
• 利用p-群中指数为p的正规子群数量的不等式，来界定子群增长 a_p^n^<< (G)。
• 使用归纳法与对数增长估计，将 ∑r_i 与 log a_p^n^<< (G) 关联，并推导出上极限条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过线性模p同调增长与性质(τ)的缺失来刻画有限生成群的大群性质？
• RQ2 嵌套p-子群序列中的线性同调增长与群的p-进完备化之间有何关系？
• RQ3 GS-τ猜想是否意味着PSL(2,C)中含挠的格是大群？
• RQ4 存在具有线性模p同调增长的嵌套序列，这与p-进完备化中的指数子群增长有何关系？
• RQ5 当 (log a_p^n^<< (G))/p^n 的上极限超过零时，其成立的条件是什么？这与子群结构有何关联？

主要发现

• 有限生成群G是大群，当且仅当存在一个正规p-子群的嵌套序列，其模p同调增长为线性，且G关于该序列不具有性质(τ)。
• 若群G存在一个具有线性模p同调增长的嵌套子正规p-子群序列，则其p-进完备化具有指数子群增长。
• (log a_p^n^<< (G))/p^n 的上极限为正，当且仅当G存在一个具有线性增长的子正规p-子群嵌套序列。
• 当且仅当存在一个具有线性增长的此类序列时，(log a_p^n^<< (G))/p^n 的下确界为正。
• 此类序列的存在意味着指数为p^n的子正规子群的数量至少以指数方式随p^n增长。
• GS-τ猜想意味着任何含挠的PSL(2,C)中的格都是大群，这由定理1.1中的二分法所支持。