[论文解读] Large induced trees in K_r-free graphs

Jacob Fox, Po‐Shen Loh+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过证明每个在 $n$ 个顶点上的连通 $K_r$-free 图包含一个大小至少为 $\sqrt{n}$ 的诱导树（当 $r=3$ 时）以及 $\frac{1}{4}\frac{\log n}{\log r}$（当 $r \geq 4$ 时），解决了极值图论中一个长期存在的问题，其结果与已知的上界仅相差常数因子。证明方法基于对顶点邻域的迭代分解与归纳，通过任意给定顶点构造出大的诱导树。

ABSTRACT

For a graph G, let t(G) denote the maximum number of vertices in an induced subgraph of G that is a tree. In this paper, we study the problem of bounding t(G) for graphs which do not contain a complete graph K_r on r vertices. This problem was posed twenty years ago by Erdos, Saks, and Sos. Substantially improving earlier results of various researchers, we prove that every connected triangle-free graph on n vertices contains an induced tree of order \sqrt{n}. When r >= 4, we also show that t(G) >= (\log n)/(4 \log r) for every connected K_r-free graph G of order n. Both of these bounds are tight up to small multiplicative constants, and the first one disproves a recent conjecture of Matousek and Samal.

研究动机与目标

• 弥合已知的 $K_r$-free 图中最大诱导树大小的上界与下界之间的差距。
• 解决 Matoušek 与 Šámal 提出的猜想，即 $t_3(n)$ 的增长速度为 $n$ 的严格低于 $1/2$ 次幂。
• 为 $t_r(n)$（即在 $n$ 个顶点的连通 $K_r$-free 图中最大诱导树的最小大小）提供渐近紧致的界。
• 证明在这样的图中，可以通过任意给定顶点找到一个大的诱导树，从而强化原始问题。

提出的方法

• 使用迭代邻域分解，以识别与中心顶点具有高连通性的大分量。
• 在顶点邻域上应用归纳法，利用 $K_r$-freeness 控制分量的结构。
• 在邻居与分量之间构造辅助二分图，以识别可分离且不相邻的顶点，用于扩展树结构。
• 利用 $r$-正则树中树大小的对数界，通过线图性质推导出下界。
• 应用拉姆齐理论论证，以确保在 $K_r$-free 图中大集合内存在不相邻的顶点。
• 通过反证法证明某个顶点的邻域中存在足够多的大分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n$ 个顶点的连通三角形自由图，$t_3(n)$（即最大诱导树的最小大小）的真实渐近增长速度是什么？
• RQ2 能否弥合 $t_3(n)$ 的 $\Omega(\log n / \log \log n)$ 与 $O(\sqrt{n} \log n)$ 之间的差距？
• RQ3 当 $r \geq 4$ 时，$t_r(n)$ 的正确数量级是什么？已知其上界为对数级。
• RQ4 是否可以保证在 $K_r$-free 图中，通过任意给定顶点存在一个大的诱导树？
• RQ5 在 $K_r$-free 图中，最大诱导树的大小与独立数相比如何？

主要发现

• 对于每个在 $n$ 个顶点上的连通三角形自由图，存在一个大小至少为 $\sqrt{n}$ 的诱导树，该结果在常数因子范围内是紧的。
• 当 $r \geq 4$ 时，每个在 $n$ 个顶点上的连通 $K_r$-free 图包含一个大小至少为 $\frac{1}{4} \frac{\log n}{\log r}$ 的诱导树，与已知上界仅相差常数因子。
• $t_3(n) = \Theta(\sqrt{n})$ 的结果解决了 Matoušek 与 Šámal 的猜想，他们曾猜想其增长速度为低于 $\sqrt{n}$ 的幂律。
• 该证明表明，可以通过任意给定顶点找到一个大的诱导树，且该性质与原始问题在常数因子范围内等价。
• 通过构造一个三角形自由图，其最大诱导树大小为 $\sqrt{2n}$ 且通过中心顶点，表明 $\sqrt{n}$ 的界几乎是最紧的。
• 结果表明，$K_r$-free 图中最大诱导树的大小是渐近确定的，不存在进一步的对数或次多项式间隙。