[论文解读] Large-N CP(N-1) sigma model on a finite interval: physical boundary effects

Stefano Bolognesi, Kenichi Konishi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文研究了在有限空间区间 L 上具有狄利克雷或诺伊曼边界条件的大型 N CP(N-1) σ 模型。通过在不假设平移不变性的大 N 极限下使用非微扰鞍点方程，发现了一个唯一相，该相在 L→∞ 时平滑地趋近于标准的二维束缚相并产生质量，与早期关于小 L 时存在希格斯相的主张相矛盾。

ABSTRACT

We analyze the two-dimensional CP(N-1) sigma model defined on a finite space interval L, with various boundary conditions, in the large N limit. With the Dirichlet boundary condition at the both ends, we show that the system has a unique phase, which smoothly approaches in the large L limit the standard 2D CP(N-1) sigma model in confinement phase, with a constant mass generated for the n(i) fields. We study the full functional saddle-point equations for finite L, and solve them numerically. The latter reduces to the well-known gap equation in the large L limit. It is found that the solution satisfies actually both the Dirichlet and Neumann conditions.

研究动机与目标

• 分析在大 N 极限下具有各种边界条件的有限空间区间 L 上的 CP(N-1) σ 模型。
• 解决关于小 L 时是否存在希格斯相的相互矛盾的主张，特别是针对 D-D 边界条件的情况。
• 在不假设平移不变性的前提下，数值求解完整的函数鞍点方程。
• 阐明边界存在时模型的红外行为和相结构，与周期性边界条件进行对比。
• 建立束缚相在所有 L 下的物理一致性，包括系统有效变为一维量子力学的小 L 极限。

提出的方法

• 在有限区间 0 < x < L 上构建具有狄利克雷或诺伊曼边界条件的 CP(N-1) σ 模型，边界条件作用于 n_i 场。
• 从大 N 极限下的函数鞍点方程推导广义的能隙方程，不假设质量恒定或平移不变性。
• 对各种 L 值（包括小 L）数值求解完整的非局部鞍点方程组。
• 使用有效作用量形式，通过拉格朗日乘子 λ 强制实现 n_i^*n_i = r 约束，导出涉及带有边界条件的拉普拉斯算子逆的能隙方程。
• 将数值解与无限 L 极限下的标准能隙方程以及先前工作中使用的平移不变性假设进行比较。
• 分析凝聚子 ⟨σ(x)⟩ 和 ⟨λ(x)⟩ 的行为，以判断是否存在希格斯相或束缚相。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 D-D 或 N-N 边界条件的有限区间上，CP(N-1) 模型在小 L 时是否如先前所建议的那样表现出希格斯相？
• RQ2 在 D-D 或 N-N 边界条件下，是否可以使用平移不变性假设（即恒定质量）来满足完整的鞍点方程？
• RQ3 系统在小 L 极限下的行为如何？是否退化为一维量子力学系统？
• RQ4 该模型在有限区间上的正确相结构是什么？当 L→∞ 时，它如何趋近于标准的二维束缚相？
• RQ5 为何周期性边界条件允许相变，而 D-D 和 N-N 条件则不允许？

主要发现

• 系统在所有 L 下具有唯一相，无希格斯相的证据，与基于平移不变性假设的早期主张相矛盾。
• 完整鞍点方程的数值解满足狄利克雷和诺伊曼边界条件，表明与边界条件的一致性。
• 在大 L 极限下，解平滑地趋近于标准的二维 CP(N-1) 模型的束缚相，具有恒定的质量间隙 m² = Λ²。
• 希格斯相（特征为 ⟨σ(x)⟩ ∼ Λ 且 ⟨λ(x)⟩ = 0）被排除，因为在此类假设下，能隙方程的第一项不会恒为零。
• 在小 L 时，系统有效退化为一维量子力学系统，其中不预期存在相变，这解释了相变的缺失。
• 周期性边界条件允许在 L_crit ∼ 1/Λ 处发生相变，但 D-D 和 N-N 条件下由于破坏了平移不变性，这种相变并未实现。