[论文解读] Large p-groups actions with a p-elementary abelian second ramification group

Magali Rocher|ArXiv.org|Jan 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在特征 $ p > 0 $ 的代数闭域上，分类了 $ p $-群在亏格 $ g \geq 2 $ 的曲线上的大作用，重点研究第二 ramification 群 $ G_2 $ 为 $ p $-初等阿贝尔的情形。通过分析由加法多项式生成的 $ k $-代数及 ramification 菱形，建立了结构定理，并构造了最大 ramification 跳跃情形的普遍族，揭示了 $ G $ 的中心为阶 $ p $ 的循环群，且 $ G $ 通过导出子群的滤子与可实现群相关联。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p>0$ and $C$ a connected nonsingular projective curve over $k$ with genus $g \geq 2$. Let $(C,G)$ be a "big action", i.e. a pair $(C,G)$ where $G$ is a $p$-subgroup of the $k$-automorphism group of $C$ such that$\frac{|G|}{g} >\frac{2 p}{p-1}$. We denote by $G_2$ the second ramification group of $G$ at the unique ramification point of the cover $C o C/G$. The aim of this paper is to describe the big actions whose $G_2$ is $p$-elementary abelian. In particular, we obtain a structure theorem by considering the $k$-algebra generated by the additive polynomials. We more specifically explore the case where there is a maximal number of jumps in the ramification filtration of $G_2$. In this case, we display some universal families.

研究动机与目标

• 对满足 $ |G|/g > 2p/(p-1) $ 且 $ G_2 $ 为 $ p $-初等阿贝尔的 $ p $-子群大作用 $ (C, G) $ 进行分类。
• 通过 $ k[X] $ 中加法多项式生成的 $ k $-代数理解此类作用的结构。
• 刻画 $ G_2 $ 的上 ramification 菱形中跳跃数最大的情形，对应于 $ G/G_2 $ 在 $ G_2 $ 上的非平凡表示。
• 构造参数化此类大作用的普遍族，特别针对 $ p=5 $、$ n \leq p-1 $ 且 $ \dim_{\mathbb{F}_p} V = 2 $ 的情形。
• 将群 $ G $ 与可实现群联系起来，并确定其中心与导出列的结构。

提出的方法

• 利用由 $ 1 $ 及至多 $ t $ 个加法多项式的乘积生成的 $ k $-代数 $ \Sigma_t $，约束 Artin-Schreier 方程 $ W_i^p - W_i = f_i(X) $ 的形式。
• 通过与 Artin-Schreier 配对对偶的诱导表示 $ \phi: G/G_2 \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p) $ 分析 ramification 菱形。
• 通过求解精确序列 $ 0 \to G_2 \to G \to V \to 0 $ 关联的嵌入问题，构造普遍族，其中 $ G_2 \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $。
• 应用线性基变换 $ X \to \lambda X $ 关联不同族，并在普遍族中识别子族。
• 使用模 $ \wp(k[X]) $ 的约化代表 $ \mathrm{red}(f) $，确保 $ f $ 在 Artin-Schreier 设置中为 $ p $-幂自由且定义良好。
• 研究由 ramification 结构诱导的群 $ G $ 的滤子 $ \Lambda_i(G) $，其中 $ \Lambda_{n-1}(G) $ 是 $ G_2 $ 的指数 $ p $ 子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当第二 ramification 群 $ G_2 $ 为 $ p $-初等阿贝尔时，大作用的结构是怎样的？
• RQ2 Artin-Schreier 方程 $ W_i^p - W_i = f_i(X) $ 中的函数 $ f_i(X) $ 如何与加法多项式生成的 $ k $-代数 $ \Sigma_t $ 相关？
• RQ3 何种条件可确保多项式族 $ f_i \in \Sigma_{i+1} - \Sigma_i $ 生成有效的大作用？
• RQ4 当 ramification 菱形具有最大跳跃数时，群 $ G $ 的群论结构是怎样的？
• RQ5 普遍族如何参数化此类大作用？其参数空间的连通分支是什么？

主要发现

• 对于满足 $ G_2 \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ 且 $ f_i \in \Sigma_{i+1} - \Sigma_i $ 的大作用，群 $ G $ 的中心 $ Z(G) $ 为阶 $ p $ 的循环群。
• 对所有 $ i \in \{1, \dots, n\} $，商群 $ G/\Lambda_i(G) $ 均为可实现群，推广了早期工作的结果。
• 当 $ n < 4 $ 且 $ p = 5 $ 时，普遍族的参数空间是线性仿射空间的 Zariski 开子集，因此不可约且连通。
• 当 $ n = 4 $ 时，由于条件 $ b_0^{96} = 1 $，参数空间不连通，表明其具有非平凡的连通分支结构。
• 当 $ s_1 = 1 $ 时，与普遍族关联的群 $ G $ 同构于通过基变换获得的特殊情形中的群，前提是 $ \lambda \in \mathbb{F}_{25}^\times $。
• 当 $ s_1 = 1 $、$ n < p-1 $ 且 $ \dim_{\mathbb{F}_p} V = 2 $ 时，普遍族存在且不可约，但 $ n = p-1 $ 时参数空间的结构仍为开放问题。