[论文解读] Large random matrix approach for testing independence of a large number of Gaussian time series

Philippe Loubaton, Alexis Rosuel|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文构建了一个大型随机矩阵理论框架，用于分析高维高斯时间序列中频率平滑周期图估计器的线性谱统计量（LSS）。在样本大小 $N \to \infty$ 且维度 $M$ 与平滑跨度 $B$ 比例增长的渐近框架下，即 $M/N \to 0$，估计谱相干矩阵的样本特征值分布收敛至 Marcenko-Pastur 分布，从而可对 LSS 进行精确的确定性近似，误差界为 $O(1/M + \sqrt{M}/N + (M/N)^3)$。

ABSTRACT

The asymptotic behaviour of Linear Spectral Statistics (LSS) of the smoothed periodogram estimator of the spectral coherency matrix of a complex Gaussian high-dimensional time series $(\y_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ with independent components is studied under the asymptotic regime where the sample size $N$ converges towards $+\infty$ while the dimension $M$ of $\y$ and the smoothing span of the estimator grow to infinity at the same rate in such a way that $\frac{M}{N} ightarrow 0$. It is established that, at each frequency, the estimated spectral coherency matrix is close from the sample covariance matrix of an independent identically $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,\I_M)$ distributed sequence, and that its empirical eigenvalue distribution converges towards the Marcenko-Pastur distribution. This allows to conclude that each LSS has a deterministic behaviour that can be evaluated explicitly. Using concentration inequalities, it is shown that the order of magnitude of the supremum over the frequencies of the deviation of each LSS from its deterministic approximation is of the order of $\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N}+ (\frac{M}{N})^{3}$ where $N$ is the sample size. Numerical simulations supports our results.

研究动机与目标

• 研究高斯时间序列中谱相干矩阵的频率平滑周期图估计器的线性谱统计量（LSS）的渐近行为。
• 在高维渐近框架下（$N \to \infty$，$M,N \to \infty$ 且 $M/N \to 0$）建立估计相干矩阵的行为类似于 i.i.d. 复高斯向量样本协方差矩阵的结论。
• 推导在每个频率下估计相干矩阵特征值的 LSS 的确定性近似。
• 利用集中不等式量化 LSS 与其确定性极限之间的偏差。
• 支持基于谱性质开发一种用于高维时间序列分量之间相互独立性的正式统计检验。

提出的方法

• 使用频率平滑周期图估计器构造谱相干矩阵的一致估计，定义为 $\hat{\mathbf{C}}(\nu) = \mathrm{diag}(\hat{\mathbf{S}}(\nu))^{-1/2} \hat{\mathbf{S}}(\nu) \mathrm{diag}(\hat{\mathbf{S}}(\nu))^{-1/2}$。
• 应用大型随机矩阵理论，特别是 Marcenko-Pastur 定律，证明 $\hat{\mathbf{C}}(\nu)$ 的经验特征值分布收敛至参数为 $c = \lim M/N$ 的 Marcenko-Pastur 分布。
• 采用随机支配和集中不等式，控制 LSS 与其确定性极限之间的偏差，其中频率 $\nu \in [0,1]$ 上的上确界偏差由 $u_N = \frac{1}{B} + \frac{\sqrt{B}}{N} + \left(\frac{B}{N}\right)^3$ 控制。
• 通过将估计相干矩阵 $\hat{\mathbf{C}}(\nu)$ 分解为参考 Wishart 类型矩阵与扰动项，推导其随机表示。
• 使用 Helffer-Sj€strand 公式与核算子技术分析随机矩阵函数的迹。
• 应用 Hanson-Wright 不等式与分部积分公式，控制高斯向量中二次型的矩与累积量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维渐近框架下，频率平滑估计谱相干矩阵的经验特征值分布如何表现？
• RQ2 在高维渐近框架下，估计相干矩阵的线性谱统计量（LSS）能否实现确定性近似？
• RQ3 LSS 收敛至其确定性极限的速率如何？偏差又如何量化？
• RQ4 平滑跨度 $B$ 与样本大小 $N$ 如何共同影响高维时间序列中谱统计量的准确性？
• RQ5 该理论框架能否支持对高维高斯时间序列分量之间相互独立性的正式检验？

主要发现

• 在渐近框架 $N \to \infty$，$M(N) = \mathcal{O}(N^\alpha)$ 且 $\alpha \in (1/2,1)$，$c_N = M/N \to c \in (0,1)$ 下，$\hat{\mathbf{C}}(\nu)$ 的经验特征值分布弱收敛至参数为 $c$ 的 Marcenko-Pastur 分布。
• 线性谱统计量 $\frac{1}{M}\mathrm{Tr}\left(f(\hat{\mathbf{C}}(\nu))\right)$ 收敛至可通过 Marcenko-Pastur 定律的 Stieltjes 变换显式计算的确定性极限。
• 在 $\nu \in [0,1]$ 上，LSS 与其确定性近似之间偏差的上确界以高概率为 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N} + \left(\frac{M}{N}\right)^3\right)$ 的阶。
• 证明估计相干矩阵与参考 Wishart 矩阵之间的扰动在随机支配意义下具有误差尺度 $\mathcal{O}\left(\left(\frac{B}{N}\right)^k\right)$，其中任意 $k \geq 1$。
• 数值模拟验证了理论误差界，并支持 LSS 的确定性近似。
• 该框架支持基于谱统计量构建高维时间序列分量之间相互不相关性（即独立性）的检验。