[论文解读] Large scale geometry of big mapping class groups

Kathryn Mann, Kasra Rafi|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文利用 Rosendal 的粗有界性框架，对无限型曲面的大映射类群的大尺度几何结构进行分类。研究完整刻画了局部粗有界性、粗有界生成性以及有界直径，并将其与端空间结构、不可平移子曲面等拓扑不变量相联系。

ABSTRACT

We study the large-scale geometry of mapping class groups of surfaces of infinite type, using the framework of Rosendal for coarse geometry of non locally compact groups. We give a complete classification of those surfaces whose mapping class groups have local coarse boundedness (the analog of local compactness). When the end space of the surface is countable or tame, we also give a classification of those surface where there exists a coarsely bounded generating set (the analog of finite or compact generation, giving the group a well-defined quasi-isometry type) and those surfaces with mapping class groups of bounded diameter (the analog of compactness).

研究动机与目标

• 将几何群论扩展至非局部紧致的波兰群，特别是无限型曲面的大映射类群。
• 确定此类群在何时可通过粗有界生成集具有明确定义的拟等距类型。
• 分类这些群何时具有有界直径（类比于紧致性）或为局部粗有界（类比于局部紧致性）。
• 建立不可平移子曲面、端空间自相似性等拓扑特征与映射类群几何性质之间的联系。
• 基于端空间结构与亏格分布，对映射类群提供完整分类。

提出的方法

• 应用 Rosendal 的粗有界性理论，为非局部紧致群定义拟等距类型。
• 使用粗有界性（CB）概念，将有限或紧生成性推广至无限型曲面。
• 通过关系 $ x \preccurlyeq y $ 定义端点上的偏序，其中 $ x $ 的邻域可同胚嵌入 $ y $ 的邻域中，并为闭开集 $ A $ 定义极大端点 $ \mathcal{M}(A) $。
• 利用子曲面投影与长度函数探测无界几何，特别是通过在具有无界轨道的度量空间上的作用。
• 分析端空间的自相似性：若一对 $ (E, E^G) $ 可嵌入任意分解中的闭开子集，则称其为自相似。
• 通过伸缩构造及补区域的同胚类型，验证粗有界性与有界直径的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时无限型曲面的映射类群是局部粗有界的？
• RQ2 在何种条件下，大映射类群具有粗有界生成集，从而具有明确定义的拟等距类型？
• RQ3 何时映射类群具有有界直径（类比于紧致性）？
• RQ4 不可平移子曲面或自相似端空间等拓扑特征如何影响映射类群的大尺度几何？
• RQ5 端空间结构（尤其是极大端点与自相似性）在决定粗几何性质方面起什么作用？

主要发现

• 映射类群 $ \operatorname{Map}(\Sigma) $ 是局部粗有界的，当且仅当存在一个有限型子曲面 $ K \subset \Sigma $，使得每个补区域均为无限型且具有 0 或无限亏格，且端空间被划分为有限个闭开集。
• 当端空间可数或为驯服时，$ \operatorname{Map}(\Sigma) $ 是粗有界生成的，当且仅当端空间是自相似的，且亏格以受控方式为有限或无限。
• 映射类群具有有界直径（全局粗有界）当且仅当端空间 $ E $ 是自相似的，且亏格以自相似方式为有限或无限。
• 不可平移子曲面导致非平凡几何：其存在意味着可通过子曲面投影在群上诱导出无界长度函数。
• 端空间 $ (E, E^G) $ 的自相似性是映射类群具有有界直径的必要且充分条件。
• 有界直径的证明依赖于在自相似性不成立时构造到 $ \mathbb{Z} $ 的无界同态，表明群不可能是粗有界的。