[论文解读] Large solutions to elliptic equations involving fractional Laplacian

Huyuan chen, Patricio Felmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文在精确控制 $f$ 靠近边界时的增长条件下，建立了涉及分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha$ 的分数阶椭圆方程在零外部数据和源项 $f$ 下大解的存在性与唯一性。关键贡献在于根据参数 $p$、$\alpha$ 以及 $f$ 的爆破速率，对解的存在性、非存在性及多重性进行了完整分类，将经典的 Keller-Osserman 理论扩展至非局部算子。

ABSTRACT

In this article, we study the boudary blow-up solutions for semilinear fractional equations with power absorption. Our main purpose is to obtain the existence, nonuniqueness and behavior asymptotic near the boundary.

研究动机与目标

• 将经典的 Keller-Osserman 理论从局部情形（边界爆破解）推广至涉及分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha$ 的非局部设定。
• 研究当外部数据 $g \equiv 0$ 且源项 $f$ 非零时大解的存在性，特别关注 $f$ 在边界附近的爆破速率的作用。
• 基于非线性指数 $p$、分数阶阶数 $\alpha$ 与 $f$ 的可积性条件之间的相互作用，对大解的存在性、非存在性及多重性进行分类。
• 以距离函数 $d(x) = \text{dist}(x, \partial\Omega)$ 的形式刻画解在边界附近的渐近行为，尤其针对不同范围的 $p$ 与 $\alpha$。
• 建立关于 $f$ 的精确条件——特别是 $f_+ d^{2\alpha p/(p-1)} \to \text{const}$ 与 $f_- d^{2\alpha p/(p-1)} \to 0$——以确保大解的存在性，并分析在 $g \equiv 0$ 时 $f$ 在驱动爆破中的作用。

提出的方法

• 通过一族函数 $U_{\mu,t}(x) = t \cdot d(x)^\tau \cdot \phi_\mu(x)$ 构造次解与超解，其中 $\phi_\mu$ 为截断函数，$\tau$ 为与爆破速率相关的参数。
• 利用分数阶拉普拉斯算子的点态表示式 $(-\Delta)^\alpha u(x) = -\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\delta(u,x,y)}{|y|^{N+2\alpha}} dy$ 对构造的测试函数估计该算子。
• 结合 $(-\Delta)^\alpha$ 在边界附近的渐近展开与正则性估计，控制 $(-\Delta)^\alpha U_{\mu,t} + U_{\mu,t}^p - f$ 在不同区域（边界附近 $A_\delta$ 与远离边界区域）的行为。
• 通过次解与超解方法中的比较原理，证明存在满足 $u \to \infty$ 当 $x \to \partial\Omega$ 的解。
• 利用参数 $\tau$ 调节候选解的齐次性，分析在由 $p$、$\alpha$ 与 $f$ 的爆破速率定义的不同参数区域中解的行为。
• 通过假设 (H1)、(H2) 与 (H3) 建立关于 $f$ 的精确条件，特别是针对 $f_+$ 的衰减速率 $d(x)^{2\alpha p/(p-1)}$ 与 $f_-$ 的 $d(x)^{2\alpha}$，以确保解的存在性或非存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $f$ 与参数 $p$、$\alpha$ 的条件下，分数阶椭圆方程 $(-\Delta)^\alpha u + |u|^{p-1}u = f$ 在 $\Omega$ 中，$u = 0$ 在 $\Omega^c$ 中，且当 $x \to \partial\Omega$ 时 $u \to \infty$，存在大解？
• RQ2 分数阶拉普拉斯算子的非局部性如何改变大解的存在性与唯一性结构，相较于经典局部情形（$\alpha = 1$）？
• RQ3 解在边界附近的精确爆破速率是什么？其如何依赖于 $p$、$\alpha$ 与 $f$ 的行为？
• RQ4 当外部数据 $g \equiv 0$ 时，大解是否仍可能存在？若存在，对 $f$ 的条件是什么？
• RQ5 临界指数 $p_c(\alpha)$ 是什么？当 $p < p_c$ 时无大解，而当 $p > p_c$ 时存在大解，该临界指数如何依赖于 $\alpha$？

主要发现

• 当 $1 + 2\alpha < p < 1 - \frac{2\alpha}{\tau_0(\alpha)}$ 且 $\tau_0(\alpha) \in (-1, 0)$ 时，在假设 (H1) 与 (H2) 成立下，方程 $(-\Delta)^\alpha u + |u|^{p-1}u = f$ 在 $\Omega$ 中、$u = 0$ 在 $\Omega^c$ 中，至少存在一个大解。
• 当 $f_+ d^{2\alpha p/(p-1)} \to \text{const}$ 且 $f_- d^{2\alpha p/(p-1)} \to 0$ 当 $x \to \partial\Omega$ 时，解满足 $\liminf_{x \to \partial\Omega} u(x) d(x)^{-\beta} > 0$ 与 $\limsup_{x \to \partial\Omega} u(x) d(x)^{2\alpha/(p-1)} < \infty$，其中 $\beta \in (-\frac{2\alpha}{p-1}, 0)$。
• 当 $p = 1 - \frac{2\alpha}{\tau_0(\alpha)}$ 时，若 $f$ 满足相同的衰减条件，则存在大解，且解表现出由 $\tau_0(\alpha)$ 决定的特定爆破速率。
• 当 $p \geq 1 - \frac{2\alpha}{\tau_0(\alpha)}$ 且 $f$ 具有弱源项满足 $|f(x)| \lesssim d(x)^\gamma$，其中 $\gamma \in [-2\alpha - \frac{2\alpha}{p-1}, -2\alpha)$ 时，在适当的 $\gamma$ 与 $\tau$ 条件下，大解存在。
• 对于强源项满足 $|f(x)| \lesssim d(x)^\gamma$ 且 $\gamma < -2\alpha$ 的情形，若 $\gamma/p > -2\alpha/(p-1)$，则大解存在，且解的结构取决于 $\gamma/p$ 与 $-2\alpha/(p-1)$ 的相对大小。
• 当 $f$ 在边界附近增长过快时，即 $\limsup_{x \to \partial\Omega} |f(x)| d(x)^{2\alpha} = \infty$ 时，大解不存在，此结果在条件 (H2*) 下成立，表明若源项过于奇异，则无法驱动爆破。