[论文解读] Large Spaces Between the Zeros of the Riemann Zeta-Function

Samir H. Saker|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文利用奥皮尔（Opial）和维尔京（Wirtinger）型不等式，为黎曼ζ函数非平凡零点之间连续零点的间距建立了新的无条件与条件性下界。无条件情况下，证明了连续零点通常至少相差1.9902倍的平均间距——优于此前1.9和1.9799的界限。在假设更高阶混合矩与随机矩阵理论预测一致的前提下，条件性地推导出更大间距的显式下界，对于k=7时估计值可达4.0736。

ABSTRACT

In this paper, we will employ the Opial and Wirtinger type inequalities to derive some conditional and unconditional lower bounds for the gaps between the zeros of the Riemann zeta-function. First, we prove (unconditionally) that the consecutive nontrivial zeros often differ by at least 1.9902 times the average spacing. This value improves the value 1.9 due to Mueller and the value 1.9799 due to Montogomery and Odlyzko. Second, on the hypothesis that the 2k-th mixed moments of the Hardy Z-function and its derivative are correctly predicted by random matrix theory, we derive some explicit formulae for the gaps and use them to establish new (conditional) large gaps.

研究动机与目标

• 推导黎曼ζ函数非平凡零点之间连续间距的改进无条件与条件性下界。
• 在哈代Z函数及其导数的背景下，应用奥皮尔与维尔京型不等式以建立这些下界。
• 研究在黎曼猜想成立的前提下，最大间距（经平均间距归一化）趋于无穷大的猜想是否可被支持。
• 在哈代Z函数Z(t)与Z'(t)的2k阶混合矩与随机矩阵理论预测一致的假设下，提供最大归一化间距Λ(k)的显式公式。

提出的方法

• 本文将奥皮尔型不等式应用于在区间端点处为零的函数，建立了函数L2k范数与导数L2k范数之间的下界关系。
• 利用布雷尼蒂奇与佩恰里奇提出的维尔京型不等式，推导出依赖于函数振荡行为的积分I(k)的另一种下界。
• 分析假设Z(t)与Z'(t)的2k阶混合矩与随机矩阵理论（RMT）预测一致，这是关键的条件性假设。
• 通过将这些不等式与Z(t)和Z'(t)的矩的渐近公式相结合，推导出最大归一化间距Λ(k)的显式下界。
• 通过在连续零点之间的区间上分析不等式链，并取T → ∞的极限，得出这些下界。
• 利用I(k)的数值值以及已知的矩比b(0,k)/b(k,k)，计算出k = 3至7时Λ(k)的显式估计值。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼ζ函数非平凡零点之间归一化间距的最优无条件理论下界是什么？
• RQ2 在Z函数及其导数的2k阶混合矩与随机矩阵理论预测一致的假设下，是否可以支持最大归一化间距Λ = lim sup r_n趋于无穷大的猜想？
• RQ3 奥皮尔与维尔京型不等式如何用于推导零点间最大间距的显式下界？
• RQ4 在RMT矩假设下，k = 3至7时最大归一化间距Λ(k)的显式数值下界是多少？
• RQ5 矩比b(0,k)/b(k,k)与积分I(k)的结构能否用于判断当k增加时，Λ(k)是否无界增长？

主要发现

• 本文建立了黎曼ζ函数非平凡零点之间归一化间距的无条件理论下界为1.9902，优于此前1.9与1.9799的界限。
• 在假设Z函数及其导数的2k阶混合矩与随机矩阵理论预测一致的前提下，本文推导出最大归一化间距Λ(k)的显式下界。
• 对于k = 3，基于奥皮尔方法的下界为Λ(3) ≥ 2.2265，基于维尔京方法的下界为Λ(3) ≥ 2.4905。
• 对于k = 7，基于奥皮尔方法的下界为Λ(7) ≥ 3.7676，基于维尔京方法的下界为Λ(7) ≥ 4.0736，表明对大间距估计的显著改进。
• 结果表明，最大归一化间距Λ(k)随k增长而增大，支持在黎曼猜想成立且RMT矩假设成立的前提下λ = ∞的猜想。
• 所推导的下界对矩比b(0,k)/b(k,k)与积分I(k)的取值高度敏感，这些量已对k = 3至7进行数值计算。