[论文解读] Large subgraphs in pseudo-random graphs

Anirban Basak, Shankar Bhamidi+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文证明，具有接近 Erdős–Rényi 随机图度数与共度数条件的伪随机图，在子图大小达到约 ((1−δ)∧1/2−o(1))log n / log(1/p) 时，其诱导子图拷贝数与 G(n,p) 渐近相同。该结果适用于广泛图类，包括随机正则图、向量空间构造以及指数随机图模型，且在二元向量空间图情况下为紧致结果。

ABSTRACT

We consider classes of pseudo-random graphs on $n$ vertices for which the degree of every vertex and the co-degree between every pair of vertices are in the intervals $(np - Cn^δ,np+Cn^δ)$ and $(np^2- C n^δ, np^2 +C n^δ)$ respectively, for some absolute constant $C$, and $p, δ\in (0,1)$. We show that for such pseudo-random graphs the number of induced isomorphic copies of subgraphs of size $s$ are approximately same as that of an Erdős-Réyni random graph with edge connectivity probability $p$ as long as $s \le (((1-δ)\wedge \frac{1}{2})-o(1))\log n/\log (1/p)$, when $p \in (0,1/2]$. When $p \in (1/2,1)$ we obtain a similar result. Our result is applicable for a large class of random and deterministic graphs including exponential random graph models (ERGMs), thresholded graphs from high-dimensional correlation networks, Erdős-Réyni random graphs conditioned on large cliques, random $d$-regular graphs and graphs obtained from vector spaces over binary fields. In the context of the last example, the results obtained are optimal. Straight-forward extensions using the proof techniques in this paper imply strengthening of the above results in the context of larger motifs if a model allows control over higher co-degree type functionals.

研究动机与目标

• 确定具有有界度数与共度数波动的伪随机图在何种条件下能模仿 Erdős–Rényi 随机图 G(n,p) 的子图分布。
• 确定此类伪随机图中诱导同构拷贝数与 G(n,p) 渐近相等的最大子图大小 s。
• 将准随机性判据的应用范围扩展至大于固定大小基序的大型、增长型子图。
• 在基于二元向量空间构造的图类中，证明该界为最优。
• 提供一个适用于随机图与确定性图的通用框架，包括 ERGM 与阈值相关网络。

提出的方法

• 通过度数与共度数集中性定义伪随机图：每个顶点的度数位于 (np − Cn^δ, np + Cn^δ) 区间内，每对顶点的共度数位于 (np² − Cn^δ, np² + Cn^δ) 区间内，其中 C 为绝对常数，δ ∈ (0,1)。
• 利用谱方法与组合技术，控制此类图中大小为 s 的子图 H 的诱导拷贝数。
• 通过矩方法与容斥原理建立子图计数的集中性，与 G(n,p) 中的期望计数进行比较。
• 利用向量空间图（G_n^b）的结构，推导团计数的精确渐近表达式，证明边界的紧致性。
• 应用概率方法与 F2 上的线性代数，通过正交补与基于张成的构造，计算 G_n^b 中的团数。
• 利用 G_n^b 中两个向量相邻当且仅当其点积模 2 为 0 的性质，并通过补集映射 v ↦ 1 + v 利用对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种子图大小 s 下，具有度数与共度数集中的伪随机图中诱导拷贝数与 G(n,p) 匹配？
• RQ2 准随机性特征——即与 G(n,p) 匹配子图计数——能否扩展至大小增长的子图，而非仅限于固定大小？
• RQ3 在具有有界度数与共度数波动的图中，此类匹配发生的子图大小是否存在根本限制？
• RQ4 结果如何应用于随机 d-正则图、ERGM 与向量空间图等具体模型？
• RQ5 所导出的子图大小界在任何图类中是否为紧致？若是，适用于哪些模型？

主要发现

• 当 p ∈ (0, 1/2] 时，只要 s ≤ ((1−δ)∧1/2−o(1)) log n / log(1/p)，任意大小为 s 的子图 H 的诱导同构拷贝数与 G(n,p) 渐近相等。
• 当 p ∈ (1/2, 1) 时，类似结果成立，但边界依赖于边概率的对数尺度。
• 该边界对由 F2 上二元向量空间构造的图类 G_n^b 是紧致的，其中大小为 t+t' 的团数渐近等价于 G(n,1/2) 中的期望值。
• 在 G_n^b 中，大小为 t+t' 的团数渐近为 ∼ 1/(t+t')! ⋅ n^{t+t'} ⋅ (1/2)^{t+t' choose 2} ⋅ ∏_{ℓ≥1}(1−1/4^ℓ)，该值与 G(n,1/2) 的期望值相差一个常数因子。
• 常数 ∏_{ℓ≥1}(1−1/4^ℓ) 下方有界于 exp(−2/3)，确保渐近等价性非退化。
• 若能控制更高阶共度数泛函，则证明技术可推广至更大基序，暗示在更丰富的模型中可进一步强化结果。