[论文解读] Large subgraphs without complete bipartite graphs

David Conlon, Jacob Fox+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文解决了Foucaud、Krivelevich和Perarnau提出的问题：在任意具有$m$条边的图中，$K_{r,s}$-free子图的最大大小是多少。通过概率方法和计数论证，作者证明了边数的紧下界为$\Omega(m^{r/(r+1)})$，该结果在依赖于$s$的常数因子范围内最优，并将结果推广至具有类似界限的$k$-均匀超图。

ABSTRACT

In this note, we answer the following question of Foucaud, Krivelevich and Perarnau. What is the size of the largest $K_{r,s}$-free subgraph one can guarantee in every graph $G$ with $m$ edges? We also discuss the analogous problem for hypergraphs.

研究动机与目标

• 确定在每张具有$m$条边的图中，可保证的$K_{r,s}$-free子图的最大大小，从而解决Foucaud、Krivelevich和Perarnau提出的一个开放问题。
• 为函数$f(m, K_{r,s})$（即任意$m$-边图中最大的$K_{r,s}$-free子图）建立紧的渐近界。
• 将结果从图推广至$k$-均匀超图，分析$m$-边$k$-图中$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free子图的大小。
• 通过构造达到上界极值图，证明界在常数因子范围内最优。

提出的方法

• 应用随机删边过程：以概率$p = \frac{1}{2}m^{-1/(r+1)}$独立地选择每条边，形成随机子图$G'$。
• 利用期望的线性性计算$G'$中边数和$K_{r,r}$副本数的期望值，依赖于任意$m$-边图中$K_{r,r}$副本数不超过$2m^r$的上界。
• 从$G'$中每份$K_{r,r}$副本中删除一条边，得到一个$K_{r,r}$-free子图，从而确保其期望大小至少为$\frac{1}{4}m^{r/(r+1)}$。
• 通过构造一个两部分大小分别为$m^{1/(r+1)}$和$m^{r/(r+1)}$的完全二部图，利用Kővári–Sós–Turán计数论证，证明任意$K_{r,s}$-free子图中边数的上界为$sm^{r/(r+1)}$。
• 将该方法推广至$k$-均匀超图：通过匹配数界$K^{(k)}_{r,\dots,r}$的副本数，并应用类似的概率删边技术，其中$p = \frac{1}{2}m^{-1/q}$，$q = \frac{r^k - 1}{r - 1}$。
• 通过在$k$-部$k$-图上使用广义归纳法，证明超图情形下的最优性，表明若一个完全$k$-部$k$-图的各部分大小适配，则其任意$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free子图中边数至多为$rm^{(q-1)/q}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每张具有$m$条边的图中，可保证的最大$K_{r,s}$-free子图大小是多少？
• RQ2 能否使$f(m, K_{r,s})$的界在依赖于$s$的常数因子范围内紧致？
• RQ3 在稠密二部图中，$K_{r,s}$-free子图的极值结构如何表现？
• RQ4 图论结果能否推广至$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free子图为禁止子图的$k$-均匀超图？
• RQ5 $k$-均匀超图中$f(m, K^{(k)}_{r,\dots,r})$的渐近行为是什么？

主要发现

• 本文通过概率方法和删边技术，证明了任意$m$-边图中最大$K_{r,r}$-free子图的大小下界为$\frac{1}{4}m^{r/(r+1)}$。
• 该界在常数因子范围内紧致：对于两部分大小分别为$m^{1/(r+1)}$和$m^{r/(r+1)}$的完全二部图，其最大$K_{r,s}$-free子图中边数至多为$sm^{r/(r+1)}$。
• 对于$k$-均匀超图，最大$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free子图的大小至少为$\frac{1}{4}m^{(q-1)/q}$，其中$q = \frac{r^k - 1}{r - 1}$，且该界在常数因子范围内紧致。
• 上界的极值构造使用了部分大小为$m^{r^{i-1}/q}$的完全$k$-部$k$-图，确保总边数恰好为$m$，并达到最大$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free子图的大小。
• 证明依赖于一种新颖的基于归纳法的计数论证，适用于$k$-部$k$-图：若某一侧的平均度至少为$r$，则$K^{(k)}_{r,\dots,r}$副本数将超过$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free子图的允许上限，从而导致矛盾。
• 该结果令人惊讶，因为一般情况下$K_{r,s}$的图论数（Turán数）尚不明确，但本文在$m$-边图中实现了子图大小的紧界。