[论文解读] Large Supports are required for Well-Supported Nash Equilibria

Yogesh Anbalagan, Hao Huang+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Game Theory and Applications参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文证明了对于任意常数 $k$ 和任意 $\epsilon < 1$，存在赢-输双矩阵博弈，其中每个 $\epsilon$-充分支持的纳什均衡（WSNE）都需要超过 $k$ 的策略支持集大小。通过利用 WSNE 的图论表征并应用加法数论中的 Haight 定理，作者构造出违反先前猜想的博弈，证明在一般情况下，小支持集不足以实现 $\epsilon$-WSNE。

ABSTRACT

We prove that for any constant $k$ and any $ε&lt;1$, there exist bimatrix win-lose games for which every $ε$-WSNE requires supports of cardinality greater than $k$. To do this, we provide a graph-theoretic characterization of win-lose games that possess $ε$-WSNE with constant cardinality supports. We then apply a result in additive number theory of Haight to construct win-lose games that do not satisfy the requirements of the characterization. These constructions disprove graph theoretic conjectures of Daskalakis, Mehta and Papadimitriou, and Myers.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：是否存在常数 $k$ 和 $\epsilon < 1$，使得每个双矩阵博弈都存在一个支持集大小至多为 $k$ 的 $\epsilon$-WSNE。
• 通过反证法推翻 Daskalakis 等人和 Myers 提出的图论猜想，即每个有向图要么包含长度至多为 $k$ 的小环，要么包含大小至多为 $k$ 的小无支配集合。
• 通过证明小支持集不足以满足 $\epsilon$-WSNE（当 $\epsilon < 1$ 时），建立 $\epsilon$-WSNE 与 $\epsilon$-NE 之间根本的结构差异。
• 应用加法数论中的结果——特别是 Haight 关于和自由集的定理——来构造不包含小环或小无支配集合的有向图。
• 证明此类图可被转化为赢-输博弈，且对任意固定的 $k$，该博弈不存在 $\epsilon$-WSNE（$\epsilon < 1$）且支持集大小 $\leq k$。

提出的方法

• 为赢-输博弈建立图论表征，使其能存在常数支持集大小的 $\epsilon$-WSNE，将此类均衡的存在性与从博弈导出的有向图中是否存在小环或小无支配顶点集联系起来。
• 利用加法数论中的 Haight 定理，该定理保证存在有限集合 $Y \subset \mathbb{Z}_q$，使得对所有 $s < \kappa$，有 $0 \notin (s)Y$，从而构造一个有向图 $D$，其不包含长度小于 $\kappa$ 的有向环，且任意一对顶点均不构成无支配对。
• 通过模运算和和集性质，构造一个 $(\kappa, 2)$-有向图——即不包含长度小于 $\kappa$ 的环，且每对顶点均被支配的有向图。
• 通过基图的 $l$-次幂操作，将该构造推广为 $(k,l)$-有向图，确保不包含长度 $\leq k$ 的环，且所有 $\ell$-元组均被支配。
• 对非二分图的 $(2k+1,k)$-有向图应用二分变换，将其映射为二分有向图，其中行顶点和列顶点代表策略，同时保持环和支配性质不变。
• 利用定理 3.5 的表征，证明所得二分有向图对应一个赢-输博弈，其不存在 $\epsilon$-WSNE（$\epsilon < 1$）且支持集大小 $\leq k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在常数 $k$ 和 $\epsilon < 1$，使得每个双矩阵博弈都存在一个支持集大小至多为 $k$ 的 $\epsilon$-WSNE？
• RQ2 所有有向图是否都包含长度至多为 $k$ 的有向环，或大小至多为 $k$ 的无支配集合？
• RQ3 能否利用加法数论构造出不包含小环和小无支配集合的有向图？
• RQ4 能否将此类图转化为缺乏小支持集 $\epsilon$-WSNE 的赢-输博弈？
• RQ5 在支持集大小要求方面，$\epsilon$-WSNE 与 $\epsilon$-NE 之间存在何种结构性差异？

主要发现

• 对于任意常数 $k$ 和任意 $\epsilon < 1$，存在赢-输双矩阵博弈，其中每个 $\epsilon$-WSNE 的支持集大小均大于 $k$。
• 作者利用 Haight 关于 $\mathbb{Z}_q$ 中和自由集的结果，构造出一个 $(\kappa, 2)$-有向图，其不包含长度小于 $\kappa$ 的有向环，且任意一对顶点均不构成无支配对。
• 通过将基图 $(k-1)(l-1)+1, 2)$-有向图的 $(l-1)$-次幂操作，构造出一个 $(k,l)$-有向图，确保不包含长度 $\leq k$ 的环，且所有 $\ell$-元组均被支配。
• 对非二分图的 $(2k+1,k)$-有向图进行二分变换，得到一个二分有向图，其不包含长度 $\leq 2k$ 的环，且同一侧的所有 $k$-元组均被支配。
• 该构造产生一个赢-输博弈，其不存在 $\epsilon$-WSNE（$\epsilon < 1$）且支持集大小 $\leq k$，从而推翻了 Daskalakis 等人和 Myers 的猜想。
• 该结果揭示了 $\epsilon$-WSNE 与 $\epsilon$-NE 之间根本的结构差异：尽管 $\frac{1}{2}$-NE 可通过大小至多为 2 的支持集找到，但当 $\epsilon < 1$ 时，$\epsilon$-WSNE 并不存在此类支持集大小的上界。