[论文解读] Large time asymptotics for the parabolic Anderson model driven by spatially correlated noise

Jingyu Huang, Khoa Lê+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文为在一维或更高维空间中由空间相关噪声驱动的抛物型安德森模型解的矩建立了费曼-卡公式。通过变分量量刻画李亚普诺夫指数与指数增长指数，并证明了在瞬时性性质中的相变行为，将结果扩展至赫斯参数 $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $ 的粗糙噪声以及满足可积性与次可加性条件的一般谱测度。

ABSTRACT

In this paper we study the linear stochastic heat equation, also known as parabolic Anderson model, in multidimension driven by a Gaussian noise which is white in time and it has a correlated spatial covariance. Examples of such covariance include the Riesz kernel in any dimension and the covariance of the fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in (\frac 14, \frac 12]$ in dimension one. First we establish the existence of a unique mild solution and we derive a Feynman-Kac formula for its moments using a family of independent Brownian bridges and assuming a general integrability condition on the initial data. In the second part of the paper we compute Lyapunov exponents, lower and upper exponential growth indices in terms of a variational quantity. The last part of the paper is devoted to study the phase transition property of the Anderson model.

研究动机与目标

• 为具有空间相关噪声的随机热方程建立温和解的存在性与唯一性。
• 利用一族独立的布朗桥，推导解的矩的费曼-卡公式。
• 通过变分量量计算李亚普诺夫指数与指数增长指数。
• 在瞬时性背景下分析李亚普诺夫指数的相变行为。

提出的方法

• 利用维纳混沌展开，在假设 (H.1) 与 (H.2) 下证明温和解的存在性与唯一性。
• 通过一族独立的布朗桥，推导矩的费曼-卡公式，该公式在谱测度满足一般可积性与次可加性条件时成立。
• 应用变分方法，将李亚普诺夫指数与指数增长指数表征为包含能量项与漂移项的最小化问题的解。
• 应用拉普拉斯原理与渐近分析，建立对数矩生成函数的上下界。
• 通过研究变分量量在不同参数区域下的行为，分析相变现象。
• 通过谱测度条件，将结果推广至粗糙噪声，包括赫斯参数 $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $ 的分数布朗运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由空间相关噪声驱动的多维抛物型安德森模型，李亚普诺夫指数与指数增长指数如何表现？
• RQ2 当噪声为粗糙且非空间白噪声时，能否建立解的矩的费曼-卡公式？
• RQ3 谱测度的次可加性与可积性在解的存在性与矩结构中起什么作用？
• RQ4 该模型是否在瞬时性行为中表现出相变？若存在，其条件为何？
• RQ5 解的长时间渐近行为如何依赖于噪声的空间相关结构？

主要发现

• 在假设 (H.1) 或 (H.2) 下，抛物型安德森模型存在唯一温和解，该假设推广了时空白噪声与分数布朗运动的情形。
• 通过一族独立的布朗桥，推导出满足谱密度一般可积性与次可加性条件的矩的费曼-卡公式。
• 李亚普诺夫指数与指数增长指数被表征为包含空间路径中二次项与线性项之和的变分问题的解。
• 通过分析变分量量，确认了瞬时性行为中的相变，显示了解峰值的主要空间结构发生改变。
• 当 $ \ell = 1 $ 时，在适当的缩放下，$ n $ 阶矩的指数增长速率在长时间极限下为 $ \frac{n\beta^2}{2} - n\alpha\beta $。
• 对数矩生成函数的上下界收敛至同一变分表达式，从而确认了指数增长指数的精确渐近行为。