[论文解读] Large time average of reachable sets and Applications to Homogenization of interfaces moving with oscillatory spatio-temporal velocity

Wenjia Jing, Panagiotis E. Souganidis+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文通过利用几何控制方法分析可达集的大时间平均，建立了具有时空振荡的哈密顿-雅可比方程的均轮化。证明了缩放后的可达集局部一致收敛于一个紧致、凸集 D，从而实现了在任意维度下具有振荡时间依赖速度的前缘传播的均轮化，即使在缺乏先验一致估计的情况下亦成立。

ABSTRACT

We study the averaging of fronts moving with positive oscillatory normal velocity, which is periodic in space and stationary ergodic in time. The problem can be reformulated as the homogenization of coercive level set Hamilton-Jacobi equations with spatio-temporal oscillations. To overcome the difficulties due to the oscillations in time and the sublinear growth of the Hamiltonian, we first study the long time averaged behavior of the associated reachable sets using geometric arguments. The results are new for higher than one dimensions even in the space-time periodic setting.

研究动机与目标

• 分析具有振荡时间依赖速度的控制系统的可达集的长时间渐近行为。
• 通过研究可达集的大时间平均，克服时间振荡、线性增长哈密顿-雅可比方程中缺乏一致估计的问题。
• 在高维情况下建立具有时空振荡的水平集哈密顿-雅可比方程的均轮化。
• 将已知的一维旋转数结果推广至高维时空周期与平稳遍历设定。

提出的方法

• 作者利用几何论证研究可达集的大时间平均，重点关注当 t→∞ 时 t⁻¹ℛₜ(x,ω) 的极限。
• 他们利用 Lax-Oleinik 公式将哈密顿-雅可比方程的解与受控系统的可达集联系起来。
• 控制系统的定义为 γ′(r) = a(γ(r), r, ω)ξ(r, ω)，其中 |ξ| ≤ 1，ℛₜ(x,ω) 是时间 t 内可达的点的集合。
• 本文证明了缩放后的可达集局部一致收敛于一个凸的紧致集 D，该集合定义了有效哈密顿量。
• 通过证明解 u^ε 在 ε→0 时局部一致收敛于具有平均哈密顿量的有效方程的解，推导出均轮化极限。
• 通过控制可达集中的时间平移（利用积分平移与最接近整数逼近），该方法可推广至非强制情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 n ≥ 2 时，具有时空振荡速度的系统，其可达集的大时间渐近行为是什么？
• RQ2 尽管缺乏一致估计，是否仍可实现具有时间依赖、线性增长哈密顿量的哈密顿-雅可比方程的均轮化？
• RQ3 可达集平均与振荡介质中有效前缘传播速度之间有何关系？
• RQ4 结果在多大程度上可从一维旋转数推广至高维时空周期或遍历设定？
• RQ5 该均轮化结果能否推广至具有混合时空依赖的非强制方程？

主要发现

• 当 t→∞ 时，可达集的大时间平均 t⁻¹ℛₜ(x,ω) 几乎必然局部一致收敛于一个紧致、凸集 D。
• 有效哈密顿量为 H̄(p) = sup_{y∈D} p·y，均轮化方程为 u_t + H̄(Du) = 0。
• 原方程的解 u^ε 在 ε→0 时局部一致收敛于均轮化方程的解。
• 该结果适用于时空周期与时间平稳遍历的速度场，扩展了先前的一维结果。
• 收敛性在时间平移下具有鲁棒性，使得结果可推广至具有附加时间变量的非强制方程。
• 该方法为在缺乏先验一致估计条件下提供了均轮化的全新途径，尤其适用于线性增长、时间振荡的哈密顿量。