[论文解读] Large-time behavior in non-symmetric Fokker-Planck equations

Franz Achleitner, Anton Arnold+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 37被引用 27

一句话总结

本文为三类非对称 Fokker-Planck 方程的解向其唯一稳态解建立了显式的指数衰减速率。该研究将改进的熵方法扩展至双曲型与具有非线性漂移项的动能 Fokker-Planck 方程，并利用谱分析处理非局部扰动，通过矩阵不等式与谱隙估计证明了精确的衰减速率。

ABSTRACT

We consider three classes of linear non-symmetric Fokker-Planck equations having a unique steady state and establish exponential convergence of solutions towards the steady state with explicit (estimates of) decay rates. First, "hypocoercive" Fokker-Planck equations are degenerate parabolic equations such that the entropy method to study large-time behavior of solutions has to be modified. We review a recent modified entropy method (for non-symmetric Fokker-Planck equations with drift terms that are linear in the position variable). Second, kinetic Fokker-Planck equations with non-quadratic potentials are another example of non-symmetric Fokker-Planck equations. Their drift term is nonlinear in the position variable. In case of potentials with bounded second-order derivatives, the modified entropy method allows to prove exponential convergence of solutions to the steady state. In this application of the modified entropy method symmetric positive definite matrices solving a matrix inequality are needed. We determine all such matrices achieving the optimal decay rate in the modified entropy method. In this way we prove the optimality of previous results. Third, we discuss the spectral properties of Fokker-Planck operators perturbed with convolution operators. For the corresponding Fokker-Planck equation we show existence and uniqueness of a stationary solution. Then, exponential convergence of all solutions towards the stationary solution is proven with an uniform rate.

研究动机与目标

• 分析具有唯一稳态解的非对称 Fokker-Planck 方程的大时间行为。
• 为三类不同方程的解向稳态解的收敛建立显式的指数衰减速率。
• 将改进的熵方法扩展至具有线性和非线性漂移项的非对称与退化 Fokker-Planck 方程。
• 在熵方法框架下，通过求解矩阵不等式确定对称正定矩阵，以获得最优衰减速率。
• 研究经卷积算子扰动后的 Fokker-Planck 算子的谱性质与指数稳定性。

提出的方法

• 将改进的熵方法应用于具有线性漂移项的非对称 Fokker-Planck 方程，采用加权 $L^2$-空间与熵耗散估计。
• 将改进的熵方法应用于具有非二次势能的动能 Fokker-Planck 方程，要求满足矩阵不等式的对称正定矩阵。
• 通过求解刻画熵方法中最优衰减速率的矩阵不等式，推导出精确的衰减速率。
• 在加权 $L^2$-空间中使用谱分析研究具有非局部扰动的 Fokker-Planck 方程，证明了平稳解的存在性与唯一性。
• 在加权 Sobolev 空间中利用紧嵌入与傅里叶分析控制解的正则性与衰减性。
• 依赖泛函分析工具，包括稠密嵌入、傅里叶变换的解析延拓以及谱投影，以建立收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有线性漂移项的非对称 Fokker-Planck 方程，可导出哪些显式的指数衰减速率？
• RQ2 如何将改进的熵方法调整以处理具有非线性漂移项的非对称 Fokker-Planck 方程？
• RQ3 在具有非二次势能的动能 Fokker-Planck 方程中，改进的熵方法可实现的最优衰减速率是多少？
• RQ4 非局部卷积扰动如何影响 Fokker-Planck 算子的谱性质与长期行为？
• RQ5 在何种条件下，Fokker-Planck 生成元的谱在非局部扰动下保持不变？

主要发现

• 对于具有线性漂移项的双曲型 Fokker-Planck 方程，改进的熵方法可导出显式的指数衰减速率，将经典熵方法推广至非对称情形。
• 对于具有有界二阶导数的非二次势能的动能 Fokker-Planck 方程，通过改进的熵方法证明了解向稳态解的指数收敛性。
• 在改进的熵方法中，当满足矩阵不等式的对称正定矩阵被最优选择时，可实现最优衰减速率。
• 所有实现精确衰减速率的最优矩阵均被完整刻画，证明了文献中已有结果的最优性。
• 对于具有非局部扰动的 Fokker-Planck 方程，生成元的谱在一大类扰动下保持不变，从而保证了对唯一平稳解的统一指数收敛性。
• 扰动生成元的谱隙被一致地从下方有界，确保了在所考虑方程类中统一的指数衰减速率。