[论文解读] Large time behavior in random multiplicative processes

György Steinbrecher, X. Garbet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文为一维随机乘法过程解的大时间行为所控制的临界指数 $\beta_c$ 建立了一个简单的解析公式。通过在广义 $L^p$ 空间和拓扑向量空间中使用新颖的弱收敛方法，证明了当 $p < \beta_c$ 时分数阶矩 $\mathbb{E}[|X_t|^p]$ 保持有界，而当 $p > \beta_c$ 时发散，并且在比经典弱收敛更强的新拓扑下收敛至平稳状态。

ABSTRACT

In a general class of one dimensional random differential equation the convergence of the distribution function of the solution to stationary state distribution is studied. In particular it is proved the boundedness respectively the divergence of the fractional order moments of the solution below respectively above some critical exponent. This exponent is computed. In particular models it is the heavy tail exponent. When the equation is linear this exponent determines a new family of weak topologies (stronger compared to the classical one), related to the convergence to the stationary state.

研究动机与目标

• 刻画一类具有平稳加法与乘法噪声的一维随机微分方程（RDE）解的大时间行为。
• 识别出将解的分数阶矩有界与发散状态分隔开来的临界指数 $\beta_c$。
• 建立一族新的弱拓扑——强于经典弱拓扑——使得解在该拓扑下收敛至平稳分布。
• 将分析扩展至具有弱非线性的非线性 RDE，证明其矩行为与同一 $\beta_c$ 相关。
• 提供一个仅依赖于乘法噪声参数、与加法项无关的 $\beta_c$ 显式、可解析处理的公式。

提出的方法

• 将线性 RDE 的解表述为 $X_t = x_0 A_t + \widetilde{B}_t$，其中 $A_t$ 和 $\widetilde{B}_t$ 是由乘法和加法噪声导出的随机过程。
• 在 $p \in (0,1)$ 和 $p > 1$ 的广义 $L^p$ 空间中应用，使用范数 $\|f\|_p = \left(\mathbb{E}[|f|^p]\right)^{\sigma_p/p}$ 分析矩的行为。
• 利用拓扑向量空间方法，在概率测度上定义一种新的弱收敛拓扑，强于经典弱拓扑。
• 通过不等式 (36)–(38) 推导出 $\|X_t\|_p$ 的界，将 $\|X_t\|_p$ 与 $\|A_t\|_p$ 和 $\|\widetilde{B}_t\|_p$ 关联，其中涉及指数增长速率 $\gamma_p$。
• 证明当 $p < \beta_c$ 时 $\gamma_p < 0$，当 $p > \beta_c$ 时 $\gamma_p > 0$，从而分别导致矩有界或发散。
• 通过隐式积分形式将分析扩展至非线性 RDE，采用类似的矩界，表明当初始条件较大时，$p > \beta_c$ 的矩呈指数发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么决定了随机乘法过程中将有界与发散分数阶矩分隔开来的临界指数 $\beta_c$？
• RQ2 收敛至平稳状态的过程如何发生？其收敛由何种拓扑结构控制？
• RQ3 临界指数 $\beta_c$ 是否能从乘法噪声参数显式计算得出，且与加法噪声无关？
• RQ4 当 $p < \beta_c$ 与 $p > \beta_c$ 时，分数阶矩 $\mathbb{E}[|X_t + z|^p]$ 的行为如何变化？
• RQ5 线性 RDE 的结果在多大程度上可推广至具有弱非线性的非线性模型？

主要发现

• 临界指数 $\beta_c$ 由一个仅依赖于乘法噪声参数、与加法项无关的简单显式公式（公式 6）给出。
• 当 $p < \beta_c$ 时，无论初始条件如何，分数阶矩 $\mathbb{E}[|X_t + z|^p]$ 随 $t \to \infty$ 保持有界。
• 当 $p > \beta_c$ 时，对于足够大的初始条件，矩 $\mathbb{E}[|X_t + z|^p]$ 呈指数发散。
• 解的分布收敛至平稳状态的过程发生在一种新的、强于经典弱拓扑的弱拓扑下，该拓扑通过满足 $\gamma < \beta_c$ 的 $C_\gamma(\mathbb{R})$ 函数定义。
• 解 $X_\infty$ 属于所有满足 $0 < p < \beta_c$ 的 $L^p$ 空间，确认了平稳分布的重尾性质，其尾指数为 $\beta_c$。
• 在具有弱非线性的非线性 RDE 中，相同的 $\beta_c$ 控制矩行为：当初始条件较大时，$p < \beta_c$ 时矩有界，$p > \beta_c$ 时发散。