[论文解读] Large-time behavior of compressible polytropic fluids and nonlinear Schr{\"o}dinger equation

Rémi Carles, Kléber Carrapatoso+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用 1

一句话总结

本论文研究了带有量子效应和黏性效应的可压缩多聚体流体弱解的大时间行为，表明在能量衰减假设下，密度会扩散并收敛至一个未知的渐近分布。通过引入基于非线性常微分方程解的时间依赖缩放变换，作者证明了缩放后密度的收敛性，并推导出能量估计，这些估计还导出了关于具有半经典参数和长程非线性项的非线性薛定谔方程的新结果。

ABSTRACT

In this paper we analyze the large-time behavior of weak solutions to polytropic fluid models possibly including quantum and capillary effects. Formal a priori estimates show that the density of solutions to these systems should disperse with time. Scaling appropriately the system, we prove that, under a reasonable assumption on the decay of energy, the density of weak solutions converges in large times to an unknown profile. In contrast with the isothermal case, we also show that there exists a large variety of asymptotic profiles. We complement the study by providing existence of global-in-time weak solutions satisfying the required decay of energy. As a byproduct of our method, we also obtain results concerning the large-time behavior of solutions to nonlinear Schr{\"o}dinger equation, allowing the presence of a semi-classical parameter as well as long range nonlinearities.

研究动机与目标

• 理解带有量子和黏性效应的可压缩多聚体流体模型弱解的大时间渐近行为。
• 将等温情形（γ = 1）下的形式能量估计与紧致性论证推广至一般多聚体情形（γ > 1）。
• 建立满足收敛所需能量衰减条件的全局时间弱解的存在性。
• 作为副产品，推导出关于具有半经典参数和长程非线性项的非线性薛定谔方程解的大时间行为的新结果。

提出的方法

• 引入基于非线性常微分方程 ¨τ = α/(2τ^{1+α}) 的时间缩放变换，其中 τ(0) = 1，˙τ(0) = 0，其渐近行为满足 τ(t) ∼ t。
• 将原始流体系统通过缩放变量 (R, U) 转化为新系统，保持初始数据不变，从而便于分析长时间动力学行为。
• 为缩放后的系统推导形式能量估计，表明泛函 B[ρ, u] 以 (1 + t)^{-min(2, d(γ−1))} + ν/(1 + t) 的速率衰减，表明密度发生弥散。
• 基于先验估计使用紧致性论证，证明缩放后密度 R(t, x) 在 t → ∞ 时弱收敛至弱极限。
• 将该方法应用于四种流体模型：欧拉方程（ε = ν = 0）、欧拉-科特韦格方程（ε > 0, ν = 0）、纳维-斯托克斯方程（ν > 0, ε = 0）以及量子纳维-斯托克斯方程（ν > 0, ε > 0）。
• 通过构造有限维近似并取极限，证明了满足所需能量衰减条件的全局弱解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可压缩多聚体流体（γ > 1）与等温情形（γ = 1）之间，其渐近密度分布有何不同？
• RQ2 基于非线性常微分方程的时间缩放是否能在多聚体情形下使缩放后密度收敛至非平凡极限？
• RQ3 在多聚体流体系统中，缩放后密度收敛所需的能量衰减速率为何？
• RQ4 所导出的估计如何推广至具有半经典参数和长程非线性项的非线性薛定谔方程？
• RQ5 在最小正则性假设和能量衰减条件下，能否构造出多聚体流体系统的全局时间弱解？

主要发现

• 在能量衰减足够快的假设下，缩放后密度 R(t, x) 在 t → ∞ 时于 L^1(R^d) 中弱-* 收敛至一个依赖于初始数据和 γ 值的极限分布。
• 缩放后能量泛函 B[ρ, u] 的衰减速率被控制在 C(E0)/(1 + t)^{min(2, d(γ−1))} + Cν/(1 + t) 以内，这表明对所有 d ≥ 1 和 γ > 1，密度均发生弥散。
• 渐近分布并非普适：与等温情形不同，其可能的渐近状态种类繁多，取决于初始数据和 γ。
• 该方法为具有半经典参数和长程非线性项的非线性薛定谔方程提供了新的衰减速率估计，扩展了先前结果。
• 通过有限维逼近与紧致性方法构造出满足所需能量衰减的全局时间弱解，证实了先验估计与解的存在性一致。
• 在衰减假设下，证明了能量耗散 D[ρ, u] 在时间上可积，这对缩放系统收敛性至关重要。