[论文解读] Large time behavior of unbounded solutions of first-order Hamilton-Jacobi equations in the whole space

Guy Barles, Olivier Ley+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究了在全空间中，满足一般凸性和强制性条件的Eikonal型一阶Hamilton-Jacobi方程的无界粘性解在长时间行为下的性质。对于初始数据从下方有界的解，本文建立了遍历行为，证明了解收敛到具有唯一遍历常数的遍历解；同时表明，若缺乏此类有界性，则由于在无界情形下遍历常数不唯一，收敛性可能不成立。

ABSTRACT

We study the large time behavior of solutions of first-order convex Hamilton-Jacobi Equations of Eikonal type set in the whole space. We assume that the solutions may have arbitrary growth. A complete study of the structure of solutions of the ergodic problem is provided : contrarily to the periodic setting, the ergodic constant is not anymore unique, leading to different large time behavior for the solutions. We establish the ergodic behavior of the solutions of the Cauchy problem (i) when starting with a bounded from below initial condition and (ii) for some particular unbounded from below initial condition, two cases for which we have different ergodic constants which play a role. When the solution is not bounded from below, an example showing that the convergence may fail in general is provided.

研究动机与目标

• 理解一阶Hamilton-Jacobi方程在全空间中无界粘性解的大时间渐近行为。
• 刻画当解可能具有任意增长时，遍历问题解的结构。
• 识别解收敛到遍历状态的条件，特别关注初始数据从下方有界的作用。
• 证明当初始数据从下方无界时，即使对于Eikonal方程，解的收敛性也可能失败。
• 在不依赖弱KAM理论或对次解的先验假设的前提下，基于PDE方法分析遍历行为。

提出的方法

• 分析依赖于无界解的粘性解理论和比较原理，使用Barles [19, 23] 的一般比较结果，该结果无需任何增长限制。
• 作者利用粘性解与Barron-Jensen解之间的等价性（定理B.1），以在下确和上确卷积下保持次解和上确解的性质。
• 他们分析了 R^N 中的遍历问题 $ H(x, Dv) = l(x) + c $，在强制性和凸性假设下，证明对所有 $ c \geq 0 $，解的存在性。
• 通过初始数据的下确卷积以及控制理论解释下的值函数，研究大时间行为。
• 论文构造了显式例子，表明当初始数据不从下方有界时，即使它是遍历方程解的有界扰动，收敛性也可能失败。
• 一个关键技术工具是紧致性假设 $ \liminf_{|x|\to\infty} l(x) > 0 $，该假设确保集合 $ \mathcal{A} = \{x : l(x) = 0\} $ 非空且紧致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始数据从下方无界时，一阶Hamilton-Jacobi方程柯西问题的解在时间趋于无穷时，其收敛到遍历解的条件是什么？
• RQ2 在全空间设定下，遍历常数的不唯一性如何影响解的大时间行为，与周期情形相比有何不同？
• RQ3 初始数据从下方有界在确保解收敛到遍历问题解中的作用是什么？
• RQ4 当初始数据从下方无界时，即使它是遍历方程解的有界扰动，解收敛到遍历状态是否仍可能失败？
• RQ5 在全空间中，与周期情形相比，遍历问题的结构在解的存在性与唯一性方面有何不同？

主要发现

• 对于从下方有界的初始数据，解 $ u(x,t) $ 满足当 $ t \to \infty $ 时在 $ C(\mathbb{R}^N) $ 中有 $ u(x,t) + ct \to v(x) $，其中 $ (c,v) $ 是遍历问题 $ H(x,Dv) = l(x) + c $ 的解，且 $ c \geq 0 $。
• 在全空间设定下，遍历常数 $ c $ 不唯一；多个 $ c \geq 0 $ 值可支持遍历方程的解。
• 当 $ \mathcal{A} = \{x : l(x) = 0\} $ 非空且紧致时，存在遍历问题的解 $ (c=0, v \geq 0) $，且在 $ H $ 的增长条件下，有 $ v(x) \to \infty $ 当 $ |x| \to \infty $。
• 对于 $ c > 0 $，遍历问题的任意解 $ v $ 均从下方无界，且在两个解差值的渐近衰减条件下，唯一性成立。
• 构造了一个例子，其中 $ u_0(x) = S(x) + b(x) $，$ b $ 有界且Lipschitz，但 $ u_0 $ 从下方无界，导致当 $ t \to \infty $ 时 $ u(x,t) + ct $ 不收敛，从而说明有界性假设的必要性。
• 论文表明，当 $ u_0 $ 是 $ c > -\min l $ 的遍历方程解的有界扰动，且 $ v(x) - u_0(x) \not\to 0 $ 当 $ x \to -\infty $ 时，收敛性会失败，表明遍历解的从下方有界性至关重要。