[论文解读] Large time behaviour of mild solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations in infinite dimension by a probabilistic approach

Ying Hu, Pierre-Yves Madec+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文使用概率方法分析了无限维空间中HJB方程温和解的长时间行为。研究证明，有限时域倒向随机微分方程（BSDE）在初始时间的解随时间域T线性增长，外加一个来自关联遍历BSDE的修正项，且收敛速度可显式导出——这是文献中罕见的结果。

ABSTRACT

We study the large time behaviour of mild solutions of HJB equations in infinite dimension by a purely probabilistic approach. For that purpose, we show that the solution of a BSDE in finite horizon $T$ taken at initial time behaves like a linear term in $T$ shifted with the solution of the associated EBSDE taken at initial time. Moreover we give an explicit speed of convergence, which seems to appear very rarely in literature.

研究动机与目标

• 理解无限维设定下HJB方程温和解的大时间渐近行为。
• 发展一种纯粹的概率方法，用于分析此类方程的长时间动力学。
• 以时间T的线性项和遍历BSDE的修正项形式，刻画解的渐近结构。
• 推导出渐近逼近的显式收敛速率，这一特征在现有文献中很少被涉及。

提出的方法

• 采用概率框架，聚焦于有限时域T内的倒向随机微分方程（BSDE）。
• 将有限时域BSDE在时间0的解分解为T的线性项与余项。
• 证明余项在T → ∞时收敛于关联遍历BSDE（EBSDE）的解。
• 通过概率估计和EBSDE解的性质，显式推导出收敛速度。
• 分析依赖于HJB方程与随机控制之间通过动态规划原理的联系。
• 该方法避免使用PDE技术，转而依赖随机分析与BSDE理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间域T趋于无穷时，有限时域BSDE的解如何表现？
• RQ2 能否使用概率方法刻画无限维HJB方程温和解的长时间行为？
• RQ3 解的渐近结构如何以T和遍历分量表示？
• RQ4 解向其渐近形式的显式收敛速率是什么？

主要发现

• 有限时域BSDE在初始时间的解渐近表现为T的线性函数，外加一个修正项。
• 当T → ∞时，修正项收敛于关联遍历BSDE（EBSDE）的解。
• 推导出了显式的收敛速度，这是文献中罕见的创新贡献。
• 概率方法提供了一种直接且构造性的方式，分析大时间行为，而无需依赖PDE正则性假设。