[论文解读] Largest small polygons: A sequential convex optimization approach

Christian Bingane|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 4

一句话总结

本文提出一种序列凸优化方法——等价于凹-凸规划（CCCP）——以求解非凸二次约束二次规划问题，从而找到单位直径下最大的小 $n$-边形。该方法收敛至局部最优解，且对于偶数 $n \leq 12$，可恢复已知的全局最优解，表明解具有近乎全局最优性；针对 $n \leq 128$ 的数值结果表明，解在数值精度范围内满足格雷厄姆猜想与轴对称性。

ABSTRACT

A small polygon is a polygon of unit diameter. The maximal area of a small polygon with $n=2m$ vertices is not known when $m\ge 7$. Finding the largest small $n$-gon for a given number $n\ge 3$ can be formulated as a nonconvex quadratically constrained quadratic optimization problem. We propose to solve this problem with a sequential convex optimization approach, which is an ascent algorithm guaranteeing convergence to a locally optimal solution. Numerical experiments on polygons with up to $n=128$ sides suggest that the optimal solutions obtained are near-global. Indeed, for even $6 \le n \le 12$, the algorithm proposed in this work converges to known global optimal solutions found in the literature.

研究动机与目标

• 解决偶数 $n \geq 6$ 时最大小 $n$-边形的开放问题，此时正 $n$-边形并非最优。
• 将最大面积问题表述为非凸二次约束二次规划（QCQP）问题，无需假设对称性或格雷厄姆猜想。
• 开发并应用一种序列凸优化算法，保证收敛至局部最优解。
• 对 $n$ 最多达 128 的情况进行数值评估，分析解的性能与质量，评估其与全局最优解的接近程度。
• 验证计算所得解在数值容差范围内是否满足关键结构特性——格雷厄姆猜想与轴对称性。

提出的方法

• 将最大面积问题表述为在单位直径约束下，关于多边形顶点坐标的非凸二次约束二次规划（QCQP）问题。
• 应用序列凸优化方法，亦即凹-凸规划（CCCP），通过迭代求解一系列凸子问题，逐步逼近局部最大值。
• 在每次迭代中，通过凸近似替代非凸目标函数，并利用凸优化技术求解问题。
• 该算法已实现于名为 OPTIGON 的软件包中，可在 GitHub 上获取，支持对最多 128 个顶点的 $n$-边形实现可复现计算。
• 针对偶数 $n$ 从 6 到 128 进行数值实验，通过目标函数值与约束满足情况监控收敛性。
• 利用数值精度阈值，验证解是否符合格雷厄姆猜想（直径图包含长度为 $n-1$ 的环及一条额外边）与轴对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 序列凸优化方法能否有效求解偶数 $n \geq 6$ 时最大小 $n$-边形问题的非凸 QCQP 形式？
• RQ2 通过该方法获得的解是否在 $n \leq 128$ 范围内满足格雷厄姆猜想关于直径图结构的假设？
• RQ3 即使在公式中未假设对称性，计算所得解是否仍保持最优 $n$-边形的轴对称性？
• RQ4 对于 $n \leq 12$，计算所得解与已知全局最优解的接近程度如何？
• RQ5 对于 $n > 12$ 的解，在数值收敛性与结构一致性基础上，其作为近乎全局最优解的程度如何？

主要发现

• 对于偶数 $n$ 从 6 到 12，该算法收敛至已知的全局最优解，验证了其在基准案例中的准确性。
• 对 $n \leq 128$ 计算所得的 $n$-边形在数值精度范围内满足格雷厄姆猜想——即直径图包含长度为 $n-1$ 的环及一条额外边。
• 所获得的最优 $n$-边形在数值容差范围内保持轴对称性，尽管该对称性未在公式中假设。
• 当 $n = 128$ 时，最大面积估计值约为 0.785201，显示出缓慢收敛至等直径上界 $\pi/4 \approx 0.785398$ 的趋势。
• 该算法表现出稳健的收敛性，平均迭代次数从 $n=60$ 时的 17.02 降至 $n=66$ 时的 16.36，表明其随 $n$ 增大而具有良好的效率扩展性。
• OPTIGON 软件包的实现支持可复现计算，并为探索超过 $n=128$ 的大尺寸小多边形提供了基础。