[论文解读] Lasserre Hierarchy for Graph Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability

David E. Roberson, Tim Seppelt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文证明了图同构问题的Lasserre半定规划层级第$t$层的可行性，等价于在特定图类$\mathcal{L}_t$上的同态不可区分性，并证明了Sherali–Adams线性规划层级的第$3t$层与Lasserre层级的第$t$层等价，且该界是紧致的。此外，本文通过同态不可区分性刻画了带非负性约束的Lasserre层级，其对应的图类为$\mathcal{L}_t^+$，并提供了一种多项式时间算法，用于判断任意层级下两图是否可被区分。

ABSTRACT

We show that feasibility of the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre semidefinite programming hierarchy for graph isomorphism can be expressed as a homomorphism indistinguishability relation. In other words, we define a class $\mathcal{L}_t$ of graphs such that graphs $G$ and $H$ are not distinguished by the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre hierarchy if and only if they admit the same number of homomorphisms from any graph in $\mathcal{L}_t$. By analysing the treewidth of graphs in $\mathcal{L}_t$, we prove that the $3t^ ext{th}$ level of Sherali--Adams linear programming hierarchy is as strong as the $t^ ext{th}$ level of Lasserre. Moreover, we show that this is best possible in the sense that $3t$ cannot be lowered to $3t-1$ for any $t$. The same result holds for the Lasserre hierarchy with non-negativity constraints, which we similarly characterise in terms of homomorphism indistinguishability over a family $\mathcal{L}_t^+$ of graphs. Additionally, we give characterisations of level-$t$ Lasserre with non-negativity constraints in terms of logical equivalence and via a graph colouring algorithm akin to the Weisfeiler--Leman algorithm. This provides a polynomial time algorithm for determining if two given graphs are distinguished by the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre hierarchy with non-negativity constraints.

研究动机与目标

• 解决图同构问题中Lasserre层级与Sherali–Adams层级之间精确关系的开放问题，特别是确定匹配某一给定Lasserre层级所需的Sherali–Adams层级最小数量。
• 通过显式定义的图类$\mathcal{L}_t$与$\mathcal{L}_t^+$，刻画Lasserre层级第$t$层（含与不含非负性约束）的可行性，其依据为同态不可区分性。
• 建立Sherali–Adams层级与Lasserre层级之间$3t$的紧致界，证明$3t-1$层不足以匹配Lasserre层级的第$t$层。
• 提供一种多项式时间算法，用于判断两图是否可被带非负性约束的Lasserre层级第$t$层所区分。
• 将Lasserre层级与逻辑等价性以及类似Weisfeiler–Leman算法的色彩细化算法相联系，扩展其模型论与算法特征化。

提出的方法

• 本文定义了一组图$\mathcal{L}_t$，使得两图$G$与$H$在Lasserre层级第$t$层不可区分，当且仅当它们对$\mathcal{L}_t$中每一图的同态数量相同。
• 证明了$\mathcal{L}_t$中图的树宽有界于$t-1$，从而可应用已知结果将树宽与Sherali–Adams可行性关联，进而导出$3t$层等价性。
• 对于带非负性约束的Lasserre层级，本文定义了相关图族$\mathcal{L}_t^+$，并证明其可行性等价于在$\mathcal{L}_t^+$上的同态不可区分性，借助量子图论与线性代数技术。
• 本文构建了一种基于$\text{mwl}^{i+1/2}$-色彩多重集的着色算法，该算法模拟Weisfeiler–Leman过程，用于刻画$\mathcal{L}_t^+$中的逻辑等价性。
• 利用模型论工具，包括$\mathcal{M}_t$-公式与句子，将同态不可区分性与顶点$2t$-元组上的第一阶逻辑关联。
• 基于对并行复合下的封闭性，采用插值论证，将$\mathcal{L}_t^+$上的同态不可区分性测试，归约为着色算法的执行。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sherali–Adams层级的第$3t$层是否足以保证Lasserre层级第$t$层在图同构问题中的可行性？
• RQ2 该$3t$界能否改进为$3t-1$？或者该界对所有$t$都是紧致的？
• RQ3 是否存在一种多项式时间算法，用于判断两图是否可被带非负性约束的Lasserre层级第$t$层所区分？
• RQ4 带非负性约束的Lasserre层级是否能通过$\mathcal{M}_t$-逻辑中的逻辑等价性完全刻画？
• RQ5 是否可将无非负性约束的Lasserre层级的同态不可区分性刻画，扩展为类似着色或博弈的特征化？

主要发现

• 图同构问题的Lasserre层级第$t$层的可行性，当且仅当两图$G$与$H$在图类$\mathcal{L}_t$上同态不可区分，其中$\mathcal{L}_t$定义为某些树状结构在并行复合下的闭包。
• Sherali–Adams层级的第$3t$层与Lasserre层级的第$t$层等价，且该界是紧致的：对每个$t$，均存在图$G$与$H$，它们在Sherali–Adams层级第$3t-1$层不可区分，但在Lasserre层级第$t$层可被区分。
• 带非负性约束的Lasserre层级由图类$\mathcal{L}_t^+$上的同态不可区分性刻画，该类图对并行复合封闭，且树宽有界于$t-1$。
• 存在一种多项式时间算法，用于判断两图是否可被带非负性约束的Lasserre层级第$t$层所区分，其基础为基于$2t$-元组的着色细化过程。
• $\mathcal{M}_t$-逻辑中的逻辑等价性，恰好对应于在$\mathcal{L}_t^+$上的同态不可区分性，且该等价性在$\text{mwl}^{\infty}$着色细化下保持不变。
• 一个开放问题仍存在：是否$Lasserre$层级的第$t-1$层可由$Sherali–Adams$层级的第$t$层匹配？当前结果未解决$3t-1$是否足以匹配$Lasserre$层级。