[论文解读] Lasserre SDPs, $\ell_1$-embeddings, and approximating non-uniform sparsest cut via generalized spectra

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的非均匀最稀疏割问题近似算法，结合拉塞雷层级SDP与由SDP导出的向量的ℓ₁嵌入。当代价图与需求图的广义特征值的第r个最小时满足λ_r ≥ Φ*/(1−δ)时，该算法在时间 2^{r/(δε)}·poly(n) 内实现 (1+ε)/δ-近似，首次将高阶谱信息应用于该问题，且在通用性与定量保证方面均优于先前方法。

ABSTRACT

We give an approximation algorithm for non-uniform sparsest cut with the following guarantee: For any $\epsilon,\delta \in (0,1)$, given cost and demand graphs with edge weights $C, D$ respectively, we can find a set $T\subseteq V$ with $\frac{C(T,V\setminus T)}{D(T,V\setminus T)}$ at most $\frac{1+\epsilon}{\delta}$ times the optimal non-uniform sparsest cut value, in time $2^{r/(\delta\epsilon)}\poly(n)$ provided $\lambda_r \ge \Phi^*/(1-\delta)$. Here $\lambda_r$ is the $r$'th smallest generalized eigenvalue of the Laplacian matrices of cost and demand graphs; $C(T,V\setminus T)$ (resp. $D(T,V\setminus T)$) is the weight of edges crossing the $(T,V\setminus T)$ cut in cost (resp. demand) graph and $\Phi^*$ is the sparsity of the optimal cut. In words, we show that the non-uniform sparsest cut problem is easy when the generalized spectrum grows moderately fast. To the best of our knowledge, there were no results based on higher order spectra for non-uniform sparsest cut prior to this work. Even for uniform sparsest cut, the quantitative aspects of our result are somewhat stronger than previous methods. Similar results hold for other expansion measures like edge expansion, normalized cut, and conductance, with the $r$'th smallest eigenvalue of the normalized Laplacian playing the role of $\lambda_r$ in the latter two cases. Our proof is based on an l1-embedding of vectors from a semi-definite program from the Lasserre hierarchy. The embedded vectors are then rounded to a cut using standard threshold rounding. We hope that the ideas connecting $\ell_1$-embeddings to Lasserre SDPs will find other applications. Another aspect of the analysis is the adaptation of the column selection paradigm from our earlier work on rounding Lasserre SDPs [GS11] to pick a set of edges rather than vertices. This feature is important in order to extend the algorithms to non-uniform sparsest cut.

研究动机与目标

• 开发一种非均匀最稀疏割问题的近似算法，利用超越标准谱间隙的高阶谱信息。
• 通过基于ℓ₁嵌入的新型舍入框架，将拉塞雷层级SDP的适用性扩展至非均匀最稀疏割问题。
• 提供一个依赖于代价图与需求图拉普拉斯矩阵广义特征值增长速率的定量近似保证。
• 将该方法推广至其他扩展度量（如边扩展度、归一化割与导纳度），其中归一化拉普拉斯矩阵的第r个最小特征值起着λ_r的作用。
• 将先前工作中的列选择范式从基于顶点的策略调整为基于边的策略，以支持非均匀需求与代价结构。

提出的方法

• 该方法利用拉塞雷层级生成非均匀最稀疏割问题的半定规划（SDP）松弛。
• 通过随机嵌入技术将SDP解中的向量嵌入ℓ₁空间，以保持割结构的特性。
• 对嵌入后的ℓ₁向量应用阈值舍入过程，以在原始图中生成一个割。
• 分析中引入了一种基于边的列选择范式，取代先前工作中使用的标准基于顶点的选择方式，以处理非均匀的需求与代价结构。
• 通过将割的质量与代价图与需求图拉普拉斯矩阵的第r个最小广义特征值λ_r相关联，推导出近似保证。
• 时间复杂度被限制在 2^{r/(δε)}·poly(n)，其指数部分取决于谱间隙条件λ_r ≥ Φ*/(1−δ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用代价图与需求图拉普拉斯矩阵的高阶广义特征值，设计出更优的非均匀最稀疏割近似算法？
• RQ2 如何通过ℓ₁嵌入与基于边的舍入方式，将拉塞雷SDP层级适配至非均匀最稀疏割问题？
• RQ3 在此设置下，近似比与谱条件λ_r ≥ Φ*/(1−δ) 之间的定量权衡关系为何？
• RQ4 先前工作中的列选择范式能否从顶点推广至边，以支持非均匀需求与代价结构？
• RQ5 这些技术在多大程度上可推广至其他图扩展度量（如边扩展度与归一化割）？

主要发现

• 当第r个最小广义特征值λ_r满足λ_r ≥ Φ*/(1−δ)时，该算法在 (1+ε)/δ-近似范围内逼近非均匀最稀疏割值。
• 运行时间被限制在 2^{r/(δε)}·poly(n)，表明当广义谱适度增长时，该问题变得可解。
• 这是首次将高阶谱信息应用于非均匀最稀疏割问题，填补了谱图论与近似算法中的关键空白。
• 该方法可推广至其他扩展度量：对于边扩展度与归一化割，归一化拉普拉斯矩阵的第r个最小特征值起着λ_r的作用。
• ℓ₁嵌入技术与阈值舍入的结合，使得在非均匀设置下对拉塞雷SDP解的有效舍入成为可能。
• 将列选择范式从顶点调整为边，是将该方法扩展至非均匀最稀疏割问题的关键。